二叉樹Binary_Tree（1）：二叉樹及其數組實現

定義

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二叉樹：

　　二叉樹是一種特殊的樹。二叉樹的特點是每個結點最多有兩個兒子，左邊的叫做左兒子，右邊的叫做右兒子，或者說每個結點最多有兩棵子樹。更加嚴格的遞歸定義是：二叉樹要么為空，要么由根結點、左子樹和右子樹組成，而左子樹和右子樹分別是一棵二叉樹。 下面這棵樹就是一棵二叉樹。

　　　　

　　

 　　　　　　　　　　概念圖

　　　　

　　樹具有的性質：n 個結點有 n-1 條邊

　　推論：若樹有 n 個結點，則它有 2n 個指針域，有 n+1 個已使用的指針域，有 n-1 個空指針域 

　　

深度(高度)：

　　這里引入深度的概念，我們規定根結點的深度為1，則其子結點的深度為2，子結點的子結點的深度為3......依次類推。

　　

　　

二叉樹的兩種類型

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　　1.滿二叉樹：一顆深度為h且有(2^h)-1個結點的二叉樹

　　　

 

　　　性質：1.若葉子結點有 n 個，則總結點數為 2n-1

　　　　　　2.若結點有 n 個，則樹高為 ⌊log₂n⌋ + 1　

 

 

　　2.完全二叉樹：設高度為h的一棵樹，除了第h層外，其他第2~(h-1)層都達到最大結點數，第h層從右向左缺失若干個結點，那么這棵樹為完全二叉樹。我們可以認為滿二叉樹為完美的完全二叉樹

　　　　

　　　

 

　　　　　　　　　　　　　　　　完全二叉樹的幾個例子

　　　　

　　　　性質：1.若結點有 n 個，則樹高為 ⌊log2n⌋ + 1

　　　　　　　2.若樹高為 h， 則總結點數 n ≤ 2^h - 1

　　　　　　　3. 若樹的深度為 k ，則第 k 層有 2^k-1 個結點 

　　　　　　　推論：若結點有 n 個，則葉子結點有 ⌊n/2⌋ 個

　　　　完全二叉樹最大的優點是可以通過父(子)結點編號求得子(父)結點編號。

 

數組實現

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　　　　　　概念圖 

法一：

　　給定一個數組a[MAXSIZE]，若父結點為a[k] (k != 0)，則其左子結點為a[2k]，右子結點為a[2k+1]，左子結點的左子結點為a[(2^2)*k]，左子結點的右子結點為a[(2^2)*k+1]，右子結點的左子結點為a[(2^2)*k+2]，右子結點的右子結點為a[(2^2)*k+3]......

　　可以推導出，深度為n的第一個結點的左子結點(位於n+1層)為a[(2^n)*k]，另一個子結點即右子結點為a[2^n)*k+1]

　　那么我們要求出深度為n+1時的任一結點，只要將其數組下標與深度的關系得出即可列出一個等式，令返回值==等式值即可，時間復雜度為O(1)

 

法二：

　　通過上圖我們發現如果完全二叉樹的一個父結點編號為k，那么它左兒子的編號就是2*k，右兒子的編號就是2*k+1。如果已知兒子（左兒子或右兒子）的編號是x，那么它父結點的編號就是x/2，注意這里只取商的整數部分。在C語言中如果除號‘/’兩邊都是整數的話，那么商也只有整數部分（即自動向下取整），即4/2和5/2都是2。另外如果一棵完全二叉樹有N個結點，那么這個完全二叉樹的高度為log₂ N簡寫為log N，即最多有log N層結點。

　　代碼如下：

for (i = 1;  i <  (int) pow (2,k) - 1; i++) //數組索引從1開始
    cin >> a[i];

 //注意最后一個葉子結點之前的空結點也需要標出來，假設上面的概念圖中結點2的右孩子5為空，則數組存儲為 1 2 3 4 空 6，否則會造成結構缺失