在路徑規划、游戲設計柵格法應用中，正六邊形網格不如矩形網格直接和常見，但是正六邊形具有自身的應用特點，更適用於一些特殊場景中，比如曠闊的海洋、區域或者太空。本文主要講述如何對正六邊形進行幾何學分析、網格化環境建模、坐標系轉換以及正六邊形間的關系求解等。六邊形的具體代碼實現可以參見github: https://github.com/wylloong/HexagonalGrids .
幾何學分析：正六邊形的邊長相等，內角都是120度，其它性質可以參見百度百科。在正六邊形網格化布局設計中，典型的正六邊形方向有水平方向（pointy topped，圖1）和垂直方向（flat topped,圖2）兩類，兩者性質類似。篇幅所限，本文主要討論pointy topped類型的正六邊形網格化布局。
圖 1. pointy topped
圖 2. flat topped
如圖3所示的正六邊形布局，針對pointy topped型的正六邊形，設其邊長為size，則六邊形的寬width=sqrt(3)/2*size，和相鄰六邊形的水平距離hori=sqrt(3)/2*size，六邊形的高是height=size*2，和相鄰六邊形的垂直距離是vert=1.5*size。
圖 3. pointy topped型的正六邊形幾何示意圖
坐標系選擇：假設實現六邊形網格化，那么六邊形位置關系的表達有很多方式，有Offset coordinates、Cube coordinates、Axial coordinates等。本文推薦使用Cube coordinates作為主要的展示方式，Axial coordinates作為網格存儲單位和顯示坐標系。
Offset coordinates：最常用的坐標系，以左上角為坐標系原點，以橫向為column軸，以縱向為roe軸，對行和列進行偏置。其中，針對flat topped型的正六邊形，具有奇和偶兩種表示方式，如下圖所示。
Cube coordinates：一種全新的看待正六邊形的方式，它把正六邊形看作具有三個軸，並且滿足x+y+z=0的性質，並且我們可以使用標准的方法實現坐標系的加減乘除和求距離。Cube坐標系的原理和其它性質可以參見文獻。
因為我們已經有針對方形網格和cube網格的計算方法，使用cube坐標系允許我們對六邊形采用這些算法。當這個算法要和其他坐標系交互時，我會把其他坐標系轉換為cube坐標系，然后計算結束后在轉換為其他坐標系。
Axial coordinates:該坐標系是由cube坐標系中三個軸中的兩個組成的。因為在cube坐標系有x+y+z=0的限制，所以第三個軸是多余的。Axial coordinates主要應用於地圖存儲和對用戶的顯示。
Axial coordinates相比offset grids的優點是坐標系更清楚，劣勢是當存儲一個長方形地圖時顯得有點怪異。
總結：Offset coordinates因為符合square grids通用的笛卡爾坐標系，是我們最容易想到的坐標系，但是因為兩軸中的一軸必須跟隨變化，是一件復雜的事情；Cube and axial systems隨着增長而變化並且具有相對簡單的計算方法，但是在存儲時具有一定的復雜度。
Coordinate conversion：我們通常在項目中使用axial or offset coordinates，但是很多算法使用cube坐標系更容易去表達，所以我們需要在坐標系之間轉換。
Axial coordinates和cube coordinates聯系緊密,所以轉換公式相對簡單。
Offset coordinates和cube coordinates轉換有點復雜。本文主要針對even-q offset和odd-q offset進行研究。
鄰近網格：cube coordinates容易求出相鄰的6個鄰近正六邊形網格，但是offset坐標系卻比較復雜。
Cube coordinates：在正六邊形上移動一個網格，涉及到改變cube坐標系中兩個軸，一個+1，另一個-1,所以共有六種可能性，每一種可能性對應於六邊形的一個方向。
Axial coordinates：如前所示，我們以cube為起點，由cube轉換為axil坐標系即可，如下圖所示。
Distance: 在cube坐標系中，每一個六邊形是一個在cube里面的3d空間。在六邊形中相鄰的六邊形距離是1，但是在cube grid里面距離是2，這會讓距離求解變得簡單和快速。
在square grid中，Manhattan distances are abs(dx) + abs(dy). In a cube grid, Manhattan distances are abs(dx) + abs(dy) + abs(dz).
所以，在cube坐標系中，距離可以表示為
在Axial coordinates，第三個坐標系是缺省的，所以通用的做法是先轉變為cube坐標系，再求距離。
在offset坐標系中，正如Axial coordinates坐標系，我們把offset轉變為cube坐標系再求取距離。
路徑規划：如果使用基於圖論的A*或者Dijkstra算法，在六邊形中尋找最短路徑和正方形網格並沒有太多不同。其中，不同的是鄰近網格位置獲取方法不同，需要用到前面的方法獲取臨近網格。
啟發函數：A*算法使用heuristic功能求出兩個位置的距離。可以使用距離公式求出距離，乘以移動代價。
參考文獻和資料：
2、Her I. Geometric transformations on the hexagonal grid[J]. IEEE Transactions on Image Processing A Publication of the IEEE Signal Processing Society, 1995, 4(9):1213-22.