K-means聚類算法（事先數據並沒有類別之分！所有的數據都是一樣的）
1、概述
K-means算法是集簡單和經典於一身的基於距離的聚類算法
采用距離作為相似性的評價指標，即認為兩個對象的距離越近，其相似度就越大。
該算法認為類簇是由距離靠近的對象組成的，因此把得到緊湊且獨立的簇作為最終目標。
2、核心思想
通過迭代尋找k個類簇的一種划分方案，使得用這k個類簇的均值來代表相應各類樣本時所得的總體誤差最小。
k個聚類具有以下特點：各聚類本身盡可能的緊湊，而各聚類之間盡可能的分開。
k-means算法的基礎是最小誤差平方和准則,
其代價函數是：
式中，μc(i)表示第i個聚類的均值。
各類簇內的樣本越相似，其與該類均值間的誤差平方越小，對所有類所得到的誤差平方求和，即可驗證分為k類時，各聚類是否是最優的。
上式的代價函數無法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。
3、算法步驟圖解
下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果，這里k取2。
4、算法實現步驟
k-means算法是將樣本聚類成 k個簇（cluster），其中k是用戶給定的，其求解過程非常直觀簡單，具體算法描述如下：
1) 隨機選取 k個聚類質心點
2) 重復下面過程直到收斂 {
對於每一個樣例 i，計算其應該屬於的類：
對於每一個類 j，重新計算該類的質心：
}
其偽代碼如下：
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創建k個點作為初始的質心點（隨機選擇）
當任意一個點的簇分配結果發生改變時
對數據集中的每一個數據點
對每一個質心
計算質心與數據點的距離
將數據點分配到距離最近的簇
對每一個簇，計算簇中所有點的均值，並將均值作為質心
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5、K-means聚類算法python實戰
需求：
對給定的數據集進行聚類
本案例采用二維數據集，共80個樣本，有4個類。
1 #!/usr/bin/python 2 # coding=utf-8 3 from numpy import * 4 # 加載數據 5 def loadDataSet(fileName): # 解析文件，按tab分割字段，得到一個浮點數字類型的矩陣 6 dataMat = [] # 文件的最后一個字段是類別標簽 7 fr = open(fileName) 8 for line in fr.readlines(): 9 curLine = line.strip().split('\t') 10 fltLine = map(float, curLine) # 將每個元素轉成float類型 11 dataMat.append(fltLine) 12 return dataMat 13 14 # 計算歐幾里得距離 15 def distEclud(vecA, vecB): 16 return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) # 求兩個向量之間的距離 17 18 # 構建聚簇中心，取k個(此例中為4)隨機質心 19 def randCent(dataSet, k): 20 n = shape(dataSet)[1] 21 centroids = mat(zeros((k,n))) # 每個質心有n個坐標值，總共要k個質心 22 for j in range(n): 23 minJ = min(dataSet[:,j]) 24 maxJ = max(dataSet[:,j]) 25 rangeJ = float(maxJ - minJ) 26 centroids[:,j] = minJ + rangeJ * random.rand(k, 1) 27 return centroids 28 29 # k-means 聚類算法 30 def kMeans(dataSet, k, distMeans =distEclud, createCent = randCent): 31 m = shape(dataSet)[0] 32 clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 用於存放該樣本屬於哪類及質心距離 33 # clusterAssment第一列存放該數據所屬的中心點，第二列是該數據到中心點的距離 34 centroids = createCent(dataSet, k) 35 clusterChanged = True # 用來判斷聚類是否已經收斂 36 while clusterChanged: 37 clusterChanged = False; 38 for i in range(m): # 把每一個數據點划分到離它最近的中心點 39 minDist = inf; minIndex = -1; 40 for j in range(k): 41 distJI = distMeans(centroids[j,:], dataSet[i,:]) 42 if distJI < minDist: 43 minDist = distJI; minIndex = j # 如果第i個數據點到第j個中心點更近，則將i歸屬為j 44 if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True; # 如果分配發生變化，則需要繼續迭代 45 clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2 # 並將第i個數據點的分配情況存入字典 46 print centroids 47 for cent in range(k): # 重新計算中心點 48 ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A == cent)[0]] # 去第一列等於cent的所有列 49 centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis = 0) # 算出這些數據的中心點 50 return centroids, clusterAssment 51 # --------------------測試---------------------------------------------------- 52 # 用測試數據及測試kmeans算法 53 datMat = mat(loadDataSet('testSet.txt')) 54 myCentroids,clustAssing = kMeans(datMat,4) 55 print myCentroids 56 print clustAssing
運行結果：
6、K-means算法補充
K-means算法的缺點及改進方法
（1）k值的選擇是用戶指定的，不同的k得到的結果會有挺大的不同，如下圖所示，左邊是k=3的結果，這個就太稀疏了，藍色的那個簇其實是可以再划分成兩個簇的。而右圖是k=5的結果，可以看到紅色菱形和藍色菱形這兩個簇應該是可以合並成一個簇的：
改進：
對k的選擇可以先用一些算法分析數據的分布，如重心和密度等，然后選擇合適的k
（2）對k個初始質心的選擇比較敏感，容易陷入局部最小值。例如，我們上面的算法運行的時候，有可能會得到不同的結果，如下面這兩種情況。K-means也是收斂了，只是收斂到了局部最小值：
改進：
有人提出了另一個成為二分k均值（bisecting k-means）算法，它對初始的k個質心的選擇就不太敏感
（3）存在局限性，如下面這種非球狀的數據分布就搞不定了：
（4）數據集比較大的時候，收斂會比較慢。