一個好碼必須具備兩個要素：可靠、高效。
高效的碼要求碼的編譯方案都具有較低的復雜度。極化碼出現后，Arikan本人提出使用SC譯碼方案來進行譯碼操作。SC全稱successive cancellation decoder，即連續消除譯碼。SC譯碼采用蝶形算法，通過遞歸的方式進行串行解碼，其優點在於算法復雜度較低，缺點是無法進行並行解碼（並行解碼可以提高解碼速度）。對於polar code的解碼，還有幾種常用方案：BP解碼、SCL解碼、SCAN解碼等，本系列我們重點來介紹SC譯碼。
SC譯碼算法中有這樣兩個比較重要的名詞。
- 似然值
似然值（“Likelihood Ratio”縮寫LR），其定義在Arikan論文中為：
公式乍一看很復雜，其實很好解釋，LR的值就是在接收端得到（
）時，發送端原本發送“0”的概率與發送“1”的概率之比。顯然，如果LR>1，意味着原本發送“0”的概率要大一點，於是我們判決這個接收端應該收到的信號為“0”，反之為“1”。
不過別忘了，在我們發送的信息之中，有一部分位是沒有信息量的即凍結位，這一部分我們假如默認全為“0”的話，那么即使似然判決結果為LR≤1，我們也強制要求它為“0”。這個判決步驟被形象的稱為“硬判決”，自然，上面的判決就稱作“軟判決”。
- 誤碼率
經過判決之后，我們在接收端得到了一組完整的二進制數，再將這組數與原本發送的數逐個對比，如果有不一樣的位，說明我們的解碼出現了誤碼，此時我們統計出錯位數，計算BER（bit error ratio，比特誤碼率）、FER（frame error ratio，誤幀率），BLER（block error ratio，誤塊率），PER（package error ratio，包錯誤率或丟包率），這些參數是衡量一種解碼方案乃至仿真系統性能的重要指標。通過以SNR(dB)為橫坐標，上述參數為縱坐標繪制折線圖，我們可以很直觀的對比不同解碼方案的性能。
由於解碼方案的matlab實現相對來說較為復雜，因此為了方便梳理思路以及幫助大家理解，仿真過程全部以碼長為N=8為例進行解釋，不過程序的編寫過程中充分考慮了所有碼長下的情況，只需更改程序開頭預定義的N值，即可實現任意碼長的編解碼仿真。本節我們只探討第一和第二個解碼器的解碼過程，剩下的我們放到以后的各章節中解釋。
SC解碼方案中兩個核心的要素，一是遞推公式，二是蝶形算法。先奉上看起來高深莫測的遞推公式和蝶形圖。
其實這個遞推公式也很好理解，比較煩的就是里面各種下標的引用。大家可以看到，公式中有一些看起來比較奇怪的參數，這里做一下說明。
比如
，代表一個向量
。
比如
，同樣表示一個向量，只不過下標(1,o)表示這個向量只包含 1~2i-1 中的奇數項（奇數，odd），同理如果是（1,e）的話，表示包含偶數項（偶數，even）。
分析這個遞推公式，它包含兩個公式。仔細觀察 L的上下標，發現第一個遞推公式用來計算 L 的奇數項，第二個公式用來計算 L 的偶數項。其實這種分類更深層次的意義在於區分蝶形算法的上下節點。為了方便表示，我們將遞推公式和蝶形圖簡化表示：
如上蝶形圖，我們在解碼的時候，是從右向左進行解碼的，在得到右邊兩個節點之后，我們才能利用Arikan遞推公式求解左邊兩個節點。其中上節點用第一個公式求解，下節點用第二個公式求解。觀察第二個公式，L1有一個指數項（1-2u），每一次計算下節點的時候都需要額外計算指數項。另外，蝶形算法有一個規律，即每一次求解蝶形上的節點時，上下兩個節點總是同時被解出。舉個栗子，以上圖為例，如果我們在求解過程中，發現 L1的似然值已經被求出來了，那么不用看我們就能肯定的說，L2一定也被解出來了。
我們來看第一第二個節點的代碼實現。首先是預定義數組。
mem_lr = zeros(N, n+1); % 定義似然值矩陣用於儲存所有節點的似然值，其中N=2^n;
如上圖，節點1為判決器1，節點16為判決器2。（為什么？還記得我們上一節提到的反序重排矩陣BN嗎？沒錯，最初的時候判決器的行序是u1~u8，反序重排以后，u2就放在了u5的位置上，u1則保持不變）紅線凸出的部分所經過的節點就是我們為求得u1、u2所必須求出似然值的節點。解碼從最右端開始，這個時候我們必須知道y1~y8的似然值，才能計算左邊節點的值。Arikan給出的計算公式為：
W(y|x) 為信道轉移概率，由於我們是在高斯信道下進行仿真，所以 W(y|x)服從高斯分布，其計算公式為：
上式中的均值 x 取值 1 、-1（為什么？ 這個地方需要再一次溫習編碼中的一個步驟：在編碼的最后，我們對編碼矩陣對2取模，然后符號化，才與噪聲進行疊加。因此，這里其實相當於將 0 替換為 -1）。將 x=-1、x=1，帶入上式，將得到的 W 帶入似然值公式做分式運算，得到：
其中，y即為疊加噪聲后的接收端信息。由於snr=m2/σ2(信噪比定義)且 m2=1。將上式中的σ換算成SNR帶入，可以得到：
接下來的工作，先是循環求出最后一列所有節點的似然值，然后從最后一列開始倒推計算似然值，發現一個現象：計算u1用到的所有節點都位於上節點，因此只需迭代調用第一個公式就能計算出u1：
for ii=0:1:n
if ii==0
for j=1:2^n
mem_lr(j,n+1)=exp(-2*encode((r_idx-1)*N+j)*snr(i)) % r_idx取值為（1：block），i用來遍歷信噪比矩陣，這兩個變量在這段程序中相當於外部變量
end %計算最后一列似然值
else
for j=1:2^(n-ii)
mem_lr(2^ii*(j-1)+1,n+1-ii) = (mem_lr(2^ii*(j-1)+1,n-ii+2) * mem_lr(2^ii*(j-1)+1+2^(ii-1),n-ii+2) + 1) /...
(mem_lr(2^ii*(j-1)+1,n-ii+2) + mem_lr(2^ii*(j-1)+2^(ii-1)+1,n-ii+2));
end % 從最后一列循環迭代使用第一個公式倒推計算節點似然值
end
end
通過上面的程序可以得到u1對應節點的似然值，可以對其進行判決：
k = find(frozen_index == 1) % 查看u1是否為凍結位 if isempty(k) % 如果k為空矩陣，即u1不是凍結位 if mem_lr(1,1) < 1 decode((r_idx-1)*N+1) = 1; % r_idx表示此時程序鎖操作的信息塊，r_idx取值：1~block，下面不再強調 end % 軟判決 else % 否則，u1是信息位 decode((r_idx-1)*N+1) = frozen((r_idx-1)*F+k); % 硬判決 end
u1計算完畢。
u2位於似然值矩陣第5行，且位於蝶形下節點。求解u2時，使用第二個遞推公式，需要考慮指數項。觀察上面紅線標注的蝶形圖，可以發現，用於計算u2的兩個節點在求解u1的過程中已經全部求出，因此只需調用一次遞推公式即可求出u2。這也就是為什么上面說，位於蝶形左上、左下節點的兩個節點總是同時被解出。
關於前后級節點的下標關系：設當前節點坐標為(i,j)，若當前節點未左上蝶形，則這個節點開啟的兩個節點的坐標為(i,j+1)和(i+N/2j,j+1)。若為左下節點，則這兩個節點開啟的兩個節點坐標為(i,j+1)和(i-N/2j,j+1)。由此可以知道計算u2需要哪兩個節點。根據遞推公式，計算u2的指數項為（1-2u1），代碼如下：
mem_lr(5,1) = (mem_lr(5-2^(n-1),2))^(1-2*decode((r_idx-1)*N+1))*(mem_lr(reverse_idx,2)); % 遞推公式二，計算u2的似然值
同理，對其進行似然判決：
k = find(frozen_index == 2) % 查看u2是否為凍結位 if isempty(k) % 如果k為空矩陣，即u2不是凍結位 if mem_lr(5,1) < 1 decode((r_idx-1)*N+2) = 1; end % 軟判決 else % 否則，u2是信息位 decode((r_idx-1)*N+1) = frozen((r_idx-1)*F+k); % 硬判決 end
經過以上步驟，我們得到了u1、u2的解碼結果，簡單的了解了SC譯碼的過程，下面來總結一下：
1、SC的譯碼分為兩部分，左上節點和左下節點，其中左下節點的求解需要預先求解指數項，這個步驟在這里不夠明顯，但是之后會占用很大的篇幅。
2、SC譯碼時左上節點和左下節點總是同時被解出。
3、SC譯碼總是先求解左上節點，再求解左下節點。左上節點的求解是一個遞推和迭代的過程。
4、判決分為似然判決和硬判決。
經過這一節的介紹，大家對SC譯碼的過程有了簡單的認識，下一節中，我們會嘗試將u1、u2的求解模式抽象為一個固定的程式並推廣到整個蝶形圖中，使得SC譯碼算法更為符合for循環結構，以便編寫形式簡潔優美的代碼。
敬請期待！