圖像配准中的仿射變換細節
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仿射變換的定義
仿射變換（Affine Transformation或 Affine Map），是指在幾何中，一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。
仿射變換可以由以下基本變換復合而成：平移（Translation）、縮放（Scale）、翻轉（Flip）、旋轉（Rotation）和錯切（Shear），這些基本的變換如下圖1表示：
圖1
下圖2中變換矩陣將原坐標(x, y)變換為新坐標(x', y')
圖2
最小二乘法
最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。
這是一個示例：某次實驗得到了四個數據點 ：
（圖3紅色的點）。我們希望找出一條和這四個點最匹配的直線
，即找出在某種“最佳情況”下能夠大致符合如下超定線性方程組的
和 
：
圖3
最小二乘法采用的手段是盡量使得等號兩邊的方差最小，也就是找出這個函數的最小值：
如此就得到了一個只有兩個未知數的方程組，很容易就可以解出：
仿射變換最小二乘法
景物在成像過程中產生的扭曲，會使圖像的比例失調，可用仿射變換來校正各種畸變。而仿射變換的參數可以用最小二乘法進行估算。
設原圖像為f(x,y)，畸變后的圖像為F(X',Y')，要將F(X',Y')恢復為f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐標與(x,y)坐標的轉換關系，這個轉換關系稱為坐標變換，表示為(x,y)=T(X',Y')。
景物在成像過程中產生的扭曲，會使圖像的比例失調，可用仿射變換來校正各種畸變。先計算出坐標變換的系數，仿射變換的表達式為:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋轉矩陣，Q是2*1的平移向量，P、Q即為仿射變換參數，即：
x= AX' + BY' + C
y= DX' + EY' + F
因此，幾何畸變的校正歸根結底為坐標轉換系數A,B,C,D,E,F的求解。
為了防止出現空像素，一般采用反向映射，由最小二乘法得(matlab)：
vec1 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*U;
vec2 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*V;
其中vec1＝[A B C]'; vec2 =[D E F]'; X Y U V I分別是x，y，X', Y', 1構成的向量。
最小二乘法估計就是估計原始坐標點與經過變換后的坐標點之間的關系，從通過這種關系進行矯正圖像，大體步驟如下：
應用
對於處理圖形畸變上，最小二乘仿射變換可以通過處理畸變的圖形，還原圖像原始形狀。
另外，在測繪方面，最小二乘與仿射變換有着巨大的應用價值。文獻7給出了一種不同坐標系統間轉換的方法，在不同的地圖坐標系中，使用最小二乘與仿射變換求取變換矩陣，完成坐標系間的轉換。文獻8則是研究地圖數字化掃描的問題，使用最小二乘與仿射變換解決因分辨率、掃描設備帶來的地圖掃描不精確的問題。
參考資料
[1] 百度百科.仿射變換. http://baike.baidu.com/view/954621.htm 2013.09.17
[2] wiki百科.仿射變換.http://zh.wikipedia.org/wiki/仿射變換 2014.09.13
[3] ChenLee_1.仿射變換.http://blog.csdn.net/carson2005/article/details/7540936 2012.05.07
[4] wiki百科.最小二乘法. http://zh.wikipedia.org/wiki/最小二乘法 2014.11.11
[5] 百度百科.超定線性. http://baike.baidu.com/view/5113042.htm 2011.01.20
[6] fengbingchun.在圖像變換中用最小二乘法求解仿射變換參. http://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/5969193 2010.10.27
[7] 孔建, 姚宜斌, 許雙安. 整體最小二乘求取坐標轉換參數[J]. 大地測量與地球動力學, 2010, (3).
[8] 岳東傑, 梅紅. 地圖掃描矢量化誤差的最小二乘配置法處理研究[J]. 測繪科學, 2007, (2):51-53.