有人說，為什么每年高考大家都熱衷於討論作文呢，還不是因為除了作文，別的內容，大家都不會了。尤其是數學、物理、化學等理科科目，大概是連題目都讀不懂了。
但是真的是這樣嗎？
昨天下午，2017年全國高考數學考試結束之后沒多久，幾個小學生告訴我，他們發現有幾道高考數學題目自己也能解決。這幾個小同學中最小的只有四年級，最大的也不過馬上小學畢業。其實，這並不是什么稀奇的事情。畢竟，有不少高考數學題對小學奧數生來說都是 so easy！
據不完全統計，絕大部分高考試卷中都有至少 $10$ 分的內容可以用小學奧數的知識解決。2017年全國高考理科數學全國II卷(滿分 $150$ 分)中，有至少不低於 $15$ 分的題目來源於小學奧數，占分比高達 $10\%$！
這就不難理解為什么學過小學奧數的孩子在初高中數學學習中能夠保持領先, 人家剛四年級就已經在高考數學考試中預定了 $15$ 分啊！
下面我們就一起來看看今年高考數學卷中出現的小學生就能做的題目：
1、2017年理科數學全國I卷第2題(原題為選擇題, 5分)：
如圖，正方形 $ABCD$ 內的圖形來自中國古代的太極圖. 正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位於正方形的中心成中心對稱, 在正方形內隨機取一點, 則此點取自黑色部分的概率是多少?
分析與解答:
基本思路是求出黑色部分面積和正方形面積之比.
問題在於題目並沒有給出具體數值, 那怎么求面積呢? 這對於小學同學來說根本不是個事兒！
假設正方形邊長是 $2$, 那么正方形面積是 $2 \times 2 = 4$. 而黑色部分面積是正方形內大圓（即內切圓）面積的一半, 即 $$\frac{1}{2}\times\pi\times1^2 = \frac{1}{2}\pi.$$ 因此題目所求之概率為 $$P = \frac{\frac{\pi}{2}}{4} = \frac{\pi}{8}.$$
小奧知識點: 正方形面積、圓的面積、概率基本概念
適合年級: 小學五、六年級
2、2017年理科數學全國I卷第4題(原題為選擇題, 5分)：
記 $S_n$ 為等差數列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 項和, 若 $a_4 + a_5 = 24$, $S_6 = 48$, 則 $\{a_n\}$ 的公差是多少?
分析與解答:
這是一道等差數列的問題, 對於小學四年級學生來說, 等差數列求通項、求和都是非常簡單的問題. 當然, 這道題目還需要用到一點方程的知識, 因此更適合五、六年級同學來解答.
設首項是 $x$, 公差是 $d$, 由題意有 $$\begin{cases}(x+3d) + (x + 4d) = 24\\ (x+x+5d)\cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 48 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x + 7d = 24\\ 2x + 5d = 16 \end{cases} \Rightarrow d = 4.$$ 因此所求之公差為 $4$.
小奧知識點: 等差數列通項、等差數列求和、解方程組
適合年級: 小學五、六年級
3、2017年理科數學全國II卷第3題(原題為選擇題, 5分)：
我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題: “遠望巍巍塔七層, 紅光點點倍加增, 共燈三百八十一, 請問尖頭幾盞燈?” 意思是: 一座 $7$ 層塔共掛了 $381$ 盞燈, 且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的 $2$ 倍, 則塔的頂層共有多少盞燈?
分析與解答:
數列, 又是數列!
這是一道等比數列的題目, 對於具備小學四年級以上奧數水平的學生來說, 非常簡單.
題目給出的信息是: 一個等比數列, 公比是 $2$, 前 $7$ 項和為 $381$, 求首項 $x$.
運用等比數列求和公式(或錯位相減法)可得: $$\frac{x\cdot\left(1 - 2^7\right)}{1 - 2} = 381 \Rightarrow x = 3.$$
即塔的頂層共有 $3$ 盞燈.
小奧知識點: 等比數列求和
適合年級: 小學四、五、六年級
4、2017年理科數學全國II卷第6題(原題為選擇題, 5分)：
安排 $3$ 名志願者完成 $4$ 項工作, 每人至少完成 $1$ 項, 每項工作由 $1$ 人完成, 則不同的安排方式共有多少種?
分析與解答:
如果這道題目出現在某次小學奧數比賽中, 那么一定會被認為是一道“水題”. 原因很簡單, 這個類型的題目早已成為了小學奧數基礎訓練題.
下面我們來一起解答一下本題.
這三個志願者完成工作只能是 $(1, 1, 2)$ 這種情形, 即有兩個人各完成一項工作, 余下一人完成兩項工作. 先選出那兩項工作, 再對三人進行全排列即可: $$\text{C}_{4}^{2}\cdot\text{A}_{3}^{3} = 6 \cdot 6 = 36.$$ 因此不同的排列方式共有 $36$ 種.
小奧知識點: 排列組合
適合年級: 小學四、五、六年級
5、2017年理科數學全國II卷第7題(5分)：
甲、乙、丙、丁四位同學一起去問老師詢問成語競賽的成績. 老師說: 你們四人中有 $2$ 位優秀, $2$ 位良好, 我現在給甲看乙、丙的成績, 給乙看丙的成績, 給丁看甲的成績. 看后甲對大家說: 我還是不知道我的成績. 根據以上信息, 則 $\_\_\_\_\_\_\_\_$.
A. 乙可以知道四人的成績
B. 丁可以知道四人的成績
C. 乙、丁可以知道對方的成績
D. 乙、丁可以知道自己的成績
分析與解答:
這是一道典型的邏輯推理問題(高考考點為“邏輯規律”), 難度不大, 比較適合具備小學四年級以上奧數水平的同學來解答.
由題意, 四人中有 $2$ 位優秀, $2$ 位良好, 我們從甲開始推理:
若乙、丙二人成績相同, 則甲必能判斷出自己的成績(比如: 乙、丙均為優秀則甲為良好). 因而乙、丙二人一個為優秀, 另一個為良好.
乙同樣清楚甲的判斷, 而且TA看到了丙的成績, 因此可以判斷出自己的成績.
丁同樣清楚甲的判斷(即自己和甲一個優秀、一個良好), 而且TA看到了甲的成績, 因此可以判斷出自己的成績.
所以, 本題正確答案為D.
小奧知識點: 邏輯推理
適合年級: 小學四、五、六年級
以上五道題目都是剛剛出爐的2017年高考數學題，大家不妨和孩子一起做一做，看看能否成功挑戰高考題。
其實無論什么學科的學習, 都會進行由低到高至少三個層面的訓練，即知識、方法和思維。我們僅僅只是從知識層面對今年理科高考全國卷 I、II 進行了分析，如果從方法和思維層面進行分析，那么小學奧數所蘊含的能量就不止 $10\%$ 了，而是可以達到 $80\%$ 甚至更多。
見微以知著，見端以知末。現在就能探索高考數學題目並且做對，說明這些小學生對數學學科和數學學習有着濃厚的興趣，也能預測到將來這些小學生們能夠在數學學科上取得更大的成就。
雖然現在能夠輕松解決這些高考題的小學生，並不意味着就一定能在若干年后獲得高考滿分。但是, 好的開始已經是成功的一半, 對么？
Better late than never，but better never later.
作者簡介：
趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，曾執教於首師大附屬實驗學校及北京四中，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。
聯系作者：zhaoyin0506（微信）