最小二乘法是機器學習中的基礎知識點，一致對最小二乘法的理解不夠深入，今天就花點時間來深入理解和探討一下最小二乘法
最小二乘法，又稱最小平方法，基本公式通俗來講，二者先取個差值，在來個平方，最后搞一個和號上去，這就是最小二乘問題的思想，下面介紹下
最小二乘法
我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什么是一元線性模型呢？ 監督學習中，如果預測的變量是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支持向量機等），如果預測的變量是連續的，我們稱其為回歸。回歸分析中，如果只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面...
對於一元線性回歸模型, 假設從總體中獲取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函數盡可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本數據的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標准可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標准可以選擇：
（1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個途徑。但很快發現計算“殘差和”存在相互抵消的問題。
（2）用“殘差絕對值和最小”確定直線位置也是一個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。
（3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。
最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所選擇的回歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。（Q為殘差平方和）- 即采用平方損失函數。
樣本回歸模型：
其中ei為樣本（Xi, Yi）的誤差
平方損失函數：
則通過Q最小確定這條直線，即確定
，以
為變量，把它們看作是Q的函數，就變成了一個求極值的問題，可以通過求導數得到。求Q對兩個待估參數的偏導數：
根據數學知識我們知道，函數的極值點為偏導為0的點。
解得：
這就是最小二乘法的解法，就是求得平方損失函數的極值點。
最小二乘法分為線性和非線性兩種，線性最小二乘法很好解決，可以將公式（1）變換為矩陣方程（公式2），最后直接求解矩陣方程即可，不需要迭代，這種解被稱為“解析解”
（1）
（2）
非線性最小二乘問題則不然，它要復雜得多，沒有辦法變換為矩陣方程形式，以至於它必須將問題化簡為每一步均為可以直接求解的子問題，整個求解過程是迭代的。
線性最小二乘問題與非線性最小二乘的關系，就是非線性最小二乘問題的求解過程。
1. 對原問題中的每一個函數fi(x)在x0處進行一階泰勒展開，因為一階泰勒展開屬於線性函數（公式3），於是通過這種手段，就可以將非線性最小二乘問題簡化為線性最小二乘問題來求解。
（3）
2. 對得到的線性最小二乘問題，進行直接求解。這里面涉及到兩個矩陣，一個是雅克比矩陣（公式4），一個是赫森矩陣（公式5）。
（4）
（5）
3. 得到子問題的解析解xk+1之后（公式2），xk+1與xk之間便自然地建立了等式關系（公式6）。
（6）
4. 更新參數xk（k=k+1， k=1....n），回到步驟1，直到滿足收斂條件，得到最優解x*
沒錯，就是講非線性轉化為線性問題去解決，下面說名幾個注意點：
第一：步驟1中，一定要一階泰勒展開，不能采用二階以上，因為只有一階泰勒展開才是線性函數，才能轉換為線性最小二乘問題來直接求解。
第二：步驟2中，雅克比矩陣和赫森矩陣都是屬於子問題的，不是原問題的。
第三：步驟3中，是為了得到新求解的參數xk+1與之前參數xk之間的關系，形成一種“鏈式反應”，也就是迭代了。
第四：步驟4中，收斂條件一般有1.梯度近乎為0。2.變量變化很小。3.目標函數值變化很小等。
第五：許多優化算法，都可以用於解決非線性最小二乘問題。
第六：函數fi(x)往往都是如下形式（公式7），千萬別以為fi(x)就是hi(x)
（7）
解釋完了，一團亂麻很正常，我們致力於應用，能理解更好，實在理解不了就理解應用場景，畢竟現在都是面向場景式編程。
說白了，最小二乘法可以得到平方損失函數最小的點，也就是全局最小，通俗點就是擬合度比較好，所以我們一般都是用於擬合數據建立線性模型用於預測
下面給出線性最小二乘法的Java實現：
package org.yujoo.baas.base; /** * 最小二乘法 y=ax+b * * @author yu joo * */ public class Theleastsquaremethod { private static double a; private static double b; private static int num; /** * 訓練 * * @param x * @param y */ public static void train(double x[], double y[]) { num = x.length < y.length ? x.length : y.length; calCoefficientes(x,y); } /** * a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) * b=y(平均)-a*x（平均） * @param x * @param y * @return */ public static void calCoefficientes (double x[],double y[]){ double xy=0.0,xT=0.0,yT=0.0,xS=0.0; for(int i=0;i<num;i++){ xy+=x[i]*y[i]; xT+=x[i]; yT+=y[i]; xS+=Math.pow(x[i], 2.0); } a= (num*xy-xT*yT)/(num*xS-Math.pow(xT, 2.0)); b=yT/num-a*xT/num; } /** * 預測 * * @param xValue * @return */ public static double predict(double xValue) { System.out.println("a="+a); System.out.println("b="+b); return a * xValue + b; } public static void main(String args[]) { double[] x = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ; double[] y = {23 , 44 , 32 , 56 , 33 , 34 , 55 , 65 , 45 , 55 } ; Theleastsquaremethod.train(x, y); System.out.println(Theleastsquaremethod.predict(10.0)); } }
當然如果你不想寫也可以使用Apache開源庫commons math，提供的功能更強大，
http://commons.apache.org/proper/commons-math/userguide/fitting.html
<dependency>
<groupId>org.apache.commons</groupId>
<artifactId>commons-math3</artifactId>
<version>3.5</version>
</dependency>
private static void testLeastSquareMethodFromApache() { final WeightedObservedPoints obs = new WeightedObservedPoints(); obs.add(-3, 4); obs.add(-2, 2); obs.add(-1, 3); obs.add(0, 0); obs.add(1, -1); obs.add(2, -2); obs.add(3, -5); // Instantiate a third-degree polynomial fitter. final PolynomialCurveFitter fitter = PolynomialCurveFitter.create(3); // Retrieve fitted parameters (coefficients of the polynomial function). final double[] coeff = fitter.fit(obs.toList()); for (double c : coeff) { System.out.println(c); } }
最小二乘法使用的前提條件是數據連續的而非離散，最常使用的場景就是回歸模型，在監督學習中，如果預測的變量是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支持向量機等），如果預測的變量是連續的，我們稱其為回歸。回歸分析中，如果只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面。最小二乘法就是回歸問題解決的基本方法，同時，最小二乘法在數學上稱為曲線擬合。
參考1：最優化理論與算法
參考2：利用Levenberg_Marquardt算法求解無約束的非線性最小二乘問題~
參考4：http://blog.csdn.NET/wsj998689aa/article/details/41558945