排列：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m<=n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規定0!=1
組合：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m<=n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)； C(n,m)=C(n,n-m)。
C語言使用標志位實現
#include <iostream>
using namespace std;
#define MaxN 10
char used[MaxN];
int p[MaxN];
char s[MaxN];
//從n個元素中選r個進行排列
void permute(int pos,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已是第r個元素了，則可打印r個元素的排列 */
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
if(!used[i])
{
/*如果第i個元素未用過*/
/*使用第i個元素，作上已用標記，目的是使以后該元素不可用*/
used[i] = 1;
/*保存當前搜索到的第i個元素*/
p[pos] = i;
/*遞歸搜索*/
permute(pos+1,n,r);
/*恢復遞歸前的值，目的是使以后改元素可用*/
used[i] = 0;
}
}
}
//從n個元素中選r個進行組合
void combine(int pos,int h,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已選了r個元素了，則打印它們*/
if (pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for(i=h; i<=n-r+pos; i++) /*對於所有未用的元素*/
{
if (!used[i])
{
/*把它放置在組合中*/
p[pos] = i;
/*使用該元素*/
used[i] = 1;
/*搜索第i+1個元素*/
combine(pos+1,i+1,n,r);
/*恢復遞歸前的值*/
used[i] = 0;
}
}
}
//產生0~2^r-1的二進制序列
void binary_sequence(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<p[i];
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
binary_sequence(pos+1,r);
p[pos] = 1;
binary_sequence(pos+1,r);
}
//利用上面的二進制序列打印字符串的所有組合
//如"abc"輸出a、b、c、ab、ac、bc、abc。
void all_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
if(p[i]==1)
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
all_combine(pos+1,r);
p[pos] = 1;
all_combine(pos+1,r);
}
//利用r進制序列打印字符串的所有重復組合
//如"abc"輸出aaa、aab、aac、aba、abb、abc、aca、acb、acc...。
void repeative_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
cout<<s[p[i]];
}
cout<<endl;
return;
}
for(i=0; i<r; ++i)
{
p[pos] = i;
repeative_combine(pos+1,r);
}
}
int main()
{
strcpy(s,"ABC");
int n = 3;
int r = 3;
//permute(0,n,r);
//combine(0,0,n,r);
//binary_sequence(0,r);
//cout<<"string: "<<s<<endl;
//all_combine(0,r);
//repeative_combine(0,r);
return 0;
}
排列組合算法的遞歸實現：
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
if(start == end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i = start; i <= end; ++i)
{
swap(a[i],a[start]);
permute(a,start+1,end);
swap(a[i],a[start]);
}
}
}
template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
if(start > end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
if(b[i])
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
b[start] = true;
combine(a,b,start+1,end);
b[start] = false;
combine(a,b,start+1,end);
}
}
int main()
{
int p[3]={1,2,3};
int N = 3;
cout<<"permute:"<<endl;
permute(p,0,N-1);
cout<<"combine:"<<endl;
bool b[3];
combine(p,b,0,N-1);
return 0;
}
排列算法的迭代實現
C++ STL中提供了next_permutation和prev_permutation算法。因為next_permutation和prev_permutation實際上是一樣的，因此只描述next_permutation算法。next_permutation()函數的作用是取下一個排列組合。考慮{a，b，c}的全排列：abc，acb，bac，bca，cab，cba，以“bac”作為參考，那么next_permutation()所得到的下一個排列組合是bca，prev_permutation()所得到的前一個排列組合是“acb”，之於“前一個”和“后一個”，是按字典進行排序的。
next_permutation()算法描述：
- 從str的尾端開始逆着尋找相鄰的元素，*i和*ii，滿足*i<*ii；
- 接着，又從str的尾端開始逆着尋找一元素，*j，滿足*i>*j（*i從步驟一中得到）；
- swap(*i,*j)；
- 將*ii之后（包括*ii）的所有元素逆轉。
舉個例子，需要找到“01324”的下一個排列，找到*i=2，*ii=4，*j=4，下一個排列即“01342”。再來找到“abfedc”的下一個排列，找到*i=b，*ii=f，*j=c，swap操作過后為“acfedb”，逆轉操作過后為“acbdef”。
//求階乘
int factorial(int n)
{
if(n == 1) return 1;
return n*factorial(n-1);
}
template <class Type>
void print(Type a, int n)
{
for(int i = 0; i < n; ++i)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
template <class Type>
void perm2(Type a, int n)
{
int i,ii,j;
int cnt = 1;
print(a,n);
int num = factorial(n);
// STL <algorithm> next_permutation()函數的核心算法
while(++cnt <= num)
{
i = n - 2;
ii = n - 1;
j = ii;
while(a[i] >= a[ii]) --i,--ii; //find *i and *ii
while(a[i] >= a[j]) --j; //find *j
swap(a[i],a[j]); //STL swap
reverse(a+ii,a+n); //STL reverse
print(a,n);
}
}
排列：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m<=n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規定0!=1
組合：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m<=n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)； C(n,m)=C(n,n-m)。
C語言使用標志位實現
#include <iostream>
using namespace std;
#define MaxN 10
char used[MaxN];
int p[MaxN];
char s[MaxN];
//從n個元素中選r個進行排列
void permute(int pos,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已是第r個元素了，則可打印r個元素的排列 */
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for (i=0; i<n; i++)
{
if(!used[i])
{
/*如果第i個元素未用過*/
/*使用第i個元素，作上已用標記，目的是使以后該元素不可用*/
used[i] = 1;
/*保存當前搜索到的第i個元素*/
p[pos] = i;
/*遞歸搜索*/
permute(pos+1,n,r);
/*恢復遞歸前的值，目的是使以后改元素可用*/
used[i] = 0;
}
}
}
//從n個元素中選r個進行組合
void combine(int pos,int h,const int n,const int r)
{
int i;
/*如果已選了r個元素了，則打印它們*/
if (pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<s[p[i]];
cout<<endl;
return;
}
for(i=h; i<=n-r+pos; i++) /*對於所有未用的元素*/
{
if (!used[i])
{
/*把它放置在組合中*/
p[pos] = i;
/*使用該元素*/
used[i] = 1;
/*搜索第i+1個元素*/
combine(pos+1,i+1,n,r);
/*恢復遞歸前的值*/
used[i] = 0;
}
}
}
//產生0~2^r-1的二進制序列
void binary_sequence(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
cout<<p[i];
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
binary_sequence(pos+1,r);
p[pos] = 1;
binary_sequence(pos+1,r);
}
//利用上面的二進制序列打印字符串的所有組合
//如"abc"輸出a、b、c、ab、ac、bc、abc。
void all_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
if(p[i]==1)
cout<<s[i];
}
cout<<endl;
return;
}
p[pos] = 0;
all_combine(pos+1,r);
p[pos] = 1;
all_combine(pos+1,r);
}
//利用r進制序列打印字符串的所有重復組合
//如"abc"輸出aaa、aab、aac、aba、abb、abc、aca、acb、acc...。
void repeative_combine(int pos,const int r)
{
int i;
if(pos == r)
{
for(i=0; i<r; i++)
{
cout<<s[p[i]];
}
cout<<endl;
return;
}
for(i=0; i<r; ++i)
{
p[pos] = i;
repeative_combine(pos+1,r);
}
}
int main()
{
strcpy(s,"ABC");
int n = 3;
int r = 3;
//permute(0,n,r);
//combine(0,0,n,r);
//binary_sequence(0,r);
//cout<<"string: "<<s<<endl;
//all_combine(0,r);
//repeative_combine(0,r);
return 0;
}
排列組合算法的遞歸實現：
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
if(start == end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i = start; i <= end; ++i)
{
swap(a[i],a[start]);
permute(a,start+1,end);
swap(a[i],a[start]);
}
}
}
template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
if(start > end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
if(b[i])
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
b[start] = true;
combine(a,b,start+1,end);
b[start] = false;
combine(a,b,start+1,end);
}
}
int main()
{
int p[3]={1,2,3};
int N = 3;
cout<<"permute:"<<endl;
permute(p,0,N-1);
cout<<"combine:"<<endl;
bool b[3];
combine(p,b,0,N-1);
return 0;
}
排列算法的迭代實現
C++ STL中提供了next_permutation和prev_permutation算法。因為next_permutation和prev_permutation實際上是一樣的，因此只描述next_permutation算法。next_permutation()函數的作用是取下一個排列組合。考慮{a，b，c}的全排列：abc，acb，bac，bca，cab，cba，以“bac”作為參考，那么next_permutation()所得到的下一個排列組合是bca，prev_permutation()所得到的前一個排列組合是“acb”，之於“前一個”和“后一個”，是按字典進行排序的。
next_permutation()算法描述：
- 從str的尾端開始逆着尋找相鄰的元素，*i和*ii，滿足*i<*ii；
- 接着，又從str的尾端開始逆着尋找一元素，*j，滿足*i>*j（*i從步驟一中得到）；
- swap(*i,*j)；
- 將*ii之后（包括*ii）的所有元素逆轉。
舉個例子，需要找到“01324”的下一個排列，找到*i=2，*ii=4，*j=4，下一個排列即“01342”。再來找到“abfedc”的下一個排列，找到*i=b，*ii=f，*j=c，swap操作過后為“acfedb”，逆轉操作過后為“acbdef”。
//求階乘
int factorial(int n)
{
if(n == 1) return 1;
return n*factorial(n-1);
}
template <class Type>
void print(Type a, int n)
{
for(int i = 0; i < n; ++i)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
template <class Type>
void perm2(Type a, int n)
{
int i,ii,j;
int cnt = 1;
print(a,n);
int num = factorial(n);
// STL <algorithm> next_permutation()函數的核心算法
while(++cnt <= num)
{
i = n - 2;
ii = n - 1;
j = ii;
while(a[i] >= a[ii]) --i,--ii; //find *i and *ii
while(a[i] >= a[j]) --j; //find *j
swap(a[i],a[j]); //STL swap
reverse(a+ii,a+n); //STL reverse
print(a,n);
}
}