分治算法：
一、基本概念
二、基本思想及策略
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合並得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反復應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
三、分治法使用場景
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合並為該問題的解；
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特征是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算復雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
第二條特征是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用；、
第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態規划法。
第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規划法較好。
四、分治法得基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
step3 合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。
它的一般的算法設計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合並子問題
7. return(T)
其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是該分治法中的合並子算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,…,Pk的相應的解y1,y2,…,yk合並為P的解。
五、分治法的復雜性分析
一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合並為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通過迭代法求得方程的解：
遞歸方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那么由n等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
六、可使用分治法求解的一些經典問題
七、一些經典問題求解代碼實現
1）二分搜索
二分搜索又叫做二分查找、折半查找，它是一種效率較高得查找方法。
二分搜索得要求：
線性表為有序表，並且要用向量作為表得存儲結構。
二分搜索得基本思想：先確定待查找記錄所在的范圍，然后逐步縮小范圍直至找到或找不到該記錄位置。
二分查找步驟：
1、先確定中間位置：
middle = (left+right)/2;
2、將待查找得key值與data[middle].key值相比較。若相等，則查找成功並返回該位置，否則須確定新得查找區間，繼續二分查找，具體方法如下：
-
- 如果data[middle].key大於key，由於data為有序線性表，可知data[middle...right].key均大於key，因此若表中存在關鍵字等於key得節點，則一定在位置middle左邊的子表中。
- 反之， data[middle].key小於key， 因此若表中存在關鍵字等於key得節點，則一定在位置middle右邊的子表中。下一次查找針對新得區域進行查找。
java代碼實現：
1 public static void main(String[] args) { 2 int[] a = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 3 int pos =bSearch(a, 0, a.length-1, 1); 4 System.out.println(pos); 5 } 6 7 8 public static int bSearch(int[] data,int left,int right,int key){ 9 //獲取中間位置 10 int middle = (left+right)/2; 11 //比較key值如相等，返回當前位置，否則確認新的查找空間 12 if(data[middle] == key){ 13 return middle; 14 }else if(data[middle] >key){ 15 return bSearch(data, left, middle-1, key); 16 }else{ 17 return bSearch(data, middle+1, right, key); 18 } 19 }
2）漢諾塔
在漢諾塔游戲中，有三個分別命名為A、B、C得塔座，幾個大小各不相同，從小到大一次編號得圓盤，每個原盤中間有一個小孔。最初，所有得圓盤都在A塔座上，其中最大得圓盤在最下面，然后是第二大，以此類推.
游戲的目的是將所有的圓盤從塔座A移動到塔座B;塔座C用來防止臨時圓盤,游戲的規則如下:
1、一次只能移動一個圓盤
2、任何時候都不能將一個較大的圓盤壓在較小的圓盤上面.
3、除了第二條限制,任何塔座的最上面的圓盤都可以移動到其他塔座上.
漢諾塔問題解決思想:
在解決漢諾塔問題時,事實上,我們不是罪關心圓盤1開始應該挪到哪個塔座上,而是關心最下面的圓盤4.當然,我們不能直接移動圓盤4,但是圓盤4最終將從塔座A移動到塔座B.按照游戲規則,在移動圓盤4之前的情況一定如下圖
我們仍將分析,如何將前三個圓盤從A移動到C,然后圓盤4從A移動到B,前三個圓盤從C再移動到B.
但是上面的步驟可以重復利用!例如將三個圓盤從A移動到C,那么應該先將前兩個圓盤從A移動到B,然后將圓盤3從A移動到C,最后將前兩個圓盤從B移動到C.
持續簡化這個問題,最終我們將只需要處理一個圓盤從一個塔座移動到另一個塔座的問題.
java代碼實現:
1 public class Moved { 2 private static int count = 1; 3 public static void main(String[] args) { 4 moved(4, "第一根柱子", "第二根柱子", "第三根柱子"); 5 } 6 7 /** 8 * 9 * @param i 圓盤數量 10 * @param a 圓盤初始所在塔座 11 * @param b 圓盤將要移動到的塔座 12 * @param c 輔助圓盤移動的塔座 13 */ 14 public static void moved(int i,String a,String b,String c){ 15 if(i == 1){ 16 disPaly(1, a, b); 17 }else{ 18 //將i-1根圓盤由A移動到C 19 moved(i-1, a, c, b); 20 //將圓盤i 由A移動到B 21 disPaly(i, a, b); 22 //將i-1根圓盤由C移動到A 23 moved(i-1,c,b,a); 24 } 25 } 26 27 public static void disPaly(int i,String a,String b){ 28 System.out.println("第"+count+"步：移動第"+i+"個塔從"+a+"到"+b); 29 count++; 30 } 31 }
運行結果:
1 第1步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子 2 第2步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子 3 第3步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子 4 第4步：移動第3個塔從第一根柱子到第三根柱子 5 第5步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子 6 第6步：移動第2個塔從第二根柱子到第三根柱子 7 第7步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子 8 第8步：移動第4個塔從第一根柱子到第二根柱子 9 第9步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子 10 第10步：移動第2個塔從第三根柱子到第一根柱子 11 第11步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子 12 第12步：移動第3個塔從第三根柱子到第二根柱子 13 第13步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子 14 第14步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子 15 第15步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子