偽隨機數算法

Random

轉載內容，有更改，感謝原作者（http://www.cnblogs.com/softidea/p/5824240.html#3697214）

Java中的Random類生成的是偽隨機數，使用的是48-bit的種子，然后調用一個linear congruential formula線性同余方程（Donald Knuth的編程藝術的3.2.1節）

如果兩個Random實例使用相同的種子，並且調用同樣的函數，那么生成的sequence是相同的

也可以調用Math.random()生成隨機數

Random實例是線程安全的，但是並發使用Random實例會影響效率，可以考慮使用ThreadLocalRandom變量。

Random實例不是安全可靠的加密，可以使用java.security.SecureRandom來提供一個可靠的加密。

Random implements Serializable 可序列化的

AtomicLong seed 原子變量

解密隨機數生成器（2）——從java源碼看線性同余算法

上篇博客中，我們了解了基於物理現象的真隨機數生成器，然而，真隨機數產生速度較慢，為了實際計算需要，計算機中的隨機數都是由程序算法，也就是某些公式函數生成的，只不過對於同一隨機種子與函數，得到的隨機數列是一定的，因此得到的隨機數可預測且有周期，不能算是真正的隨機數，因此稱為偽隨機數（Pseudo Random Number）。

 

不過，別看到偽字就瞧不起，這里面也是有學問的，看似幾個簡簡單單的公式可能是前輩們努力了幾代的成果，相關的研究可以寫好幾本書了！順便提一下，亞裔唯一圖靈獎得主姚期智，研究的就是偽隨機數生成論（The pseudo random number generating theory）。
在這里，我重點介紹兩個常用的算法：同余法（Congruential method）和梅森旋轉算法（Mersenne twister）

 

1、同余法

同余法（Congruential method）是很常用的一種隨機數生成方法，在很多編程語言中有應用，最明顯的就是java了，java.util.Random類中用的就是同余法中的一種——線性同余法（Linear congruential method），除此之外還有乘同余法（Multiplicative congruential method）和混合同余法（Mixed congruential method）。好了，現在我們就打開java的源代碼，看一看線性同余法的真面目！

 

在Eclipse中輸入java.util.Random，按F3轉到Random類的源代碼：

 

首先，我們看到這樣一段說明：

翻譯過來是：

這個類的一個實現是用來生成一串偽隨機數。這個類用了一個48位的種子，被線性同余公式修改用來生成隨機數。（見Donald Kunth《計算機編程的藝術》第二卷，章節3.2.1）

 

顯然，java的Random類使用的是線性同余法來得到隨機數的。

接着往下看，我們找到了它的構造函數與幾個方法，里面包含了獲得48位種子的過程：

    private static final AtomicLong seedUniquifier
        = new AtomicLong(8682522807148012L);

/**
     * Creates a new random number generator. This constructor sets
     * the seed of the random number generator to a value very likely
     * to be distinct from any other invocation of this constructor.
     */
    public Random() {
        this(seedUniquifier() ^ System.nanoTime());
    }
 
    private static long seedUniquifier() {
        // L'Ecuyer, "Tables of Linear Congruential Generators of
        // Different Sizes and Good Lattice Structure", 1999
        for (;;) {
            long current = seedUniquifier.get();
            long next = current * 181783497276652981L;
            if (seedUniquifier.compareAndSet(current, next))
                return next;
        }
    }
 
    private static final AtomicLong seedUniquifier
        = new AtomicLong(8682522807148012L);
    public Random(long seed) {
        if (getClass() == Random.class)
            this.seed = new AtomicLong(initialScramble(seed));
        else {
            // subclass might have overriden setSeed
            this.seed = new AtomicLong();
            setSeed(seed);
        }
    }
    private static long initialScramble(long seed) {
        return (seed ^ multiplier) & mask;
    }
    。。。

 

 

java.util.concurrent.atomic.AtomicLong
public final boolean compareAndSet(long expect,
                                   long update)
Atomically sets the value to the given updated value if the current value == the expected value.
Parameters:
expect - the expected value
update - the new value
Returns:
true if successful. False return indicates that the actual value was not equal to the expected value.

 

這里使用了System.nanoTime()方法來得到一個納秒級的時間量，參與48位種子的構成，然后還進行了一個很變態的運算——不斷乘以181783497276652981L，這里的nanotime可以算是一個真隨機數，不過有必要提的是，nanoTime和我們常用的currenttime方法不同，返回的不是從1970年1月1日到現在的時間，而是一個隨機的數——只用來前后比較計算一個時間段，比如一行代碼的運行時間，數據庫導入的時間等，而不能用來計算今天是哪一天。

 

好了，現在我不得不佩服這位工程師的變態了：到目前為止，這個程序已經至少進行了三次隨機： 

1、獲得一個長整形數作為“初始種子”（系統默認的是8682522807148012L）

2、不斷與一個變態的數——181783497276652981L相乘（天知道這些數是不是工程師隨便滾鍵盤滾出來的-.-）(compare and set 保證數據的一致性)

3、與系統隨機出來的nanotime值作異或運算，得到最終的種子

再往下看，就是我們常用的得到隨機數的方法了，我首先找到了最常用的nextInt（）函數，代碼如下：

    public int nextInt() {
        return next(32);
    }

代碼很簡潔，直接跳到了next函數：

    protected int next(int bits) {
        long oldseed, nextseed;
        AtomicLong seed = this.seed;
        do {
            oldseed = seed.get();
            nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;
        } while (!seed.compareAndSet(oldseed, nextseed));
        return (int)(nextseed >>> (48 - bits));
    }

 

OK,祝賀一下怎么樣，因為我們已經深入到的線性同余法的核心了——沒錯，就是這幾行代碼！

在分析這段代碼前，先來簡要介紹一下線性同余法。

 

在程序中為了使表達式的結果小於某個值，我們常常采用取余的操作，結果是同一個除數的余數，這種方法叫同余法（Congruential method）。

線性同余法是一個很古老的隨機數生成算法，它的數學形式如下：

Xn+1 = (a*Xn+c)(mod m) 

其中，

m>0,0<a<m,0<c<m

這里Xn這個序列生成一系列的隨機數，X0是種子。隨機數產生的質量與m，a，c三個參數的選取有很大關系。這些隨機數並不是真正的隨機，而是滿足在某一周期內隨機分布，這個周期的最長為m（一般來說是小於M的）。根據Hull-Dobell Theorem，當且僅當：

1. c和m互素;

2. a-1可被所有m的質因數整除;

3. 當m是4的整數倍，a-1也是4的整數倍時，周期為m。所以m一般都設置的很大，以延長周期。

現在我們回過頭來看剛才的程序，注意這行代碼：

nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;

和Xn+1=(a*Xn+c)(mod m)的形式很像有木有！

沒錯，就是這一行代碼應用到了線性同余法公式！不過還有一個問題：怎么沒見取余符號？嘿嘿，先讓我們看看三個變量的數值聲明：

    private static final long multiplier = 0x5DEECE66DL;
    private static final long addend = 0xBL;
    private static final long mask = (1L << 48) - 1;
 

 

其中multiplier和addend分別代表公式中的a和c，很好理解，但mask代表什么呢？其實，x & [(1L << 48)–1]與 x（mod 2^48）等價。解釋如下：

x對於2的N次冪取余，由於除數是2的N次冪，如：

0001，0010，0100，1000。。。。

相當於把x的二進制形式向右移N位，此時移到小數點右側的就是余數，如：

13 = 1101    8 = 1000

13 / 8 = 1.101，所以小數點右側的101就是余數，化成十進制就是5

然而，無論是C語言還是java,位運算移走的數顯然都一去不復返了。（什么，你說在CF寄存器中？好吧，太高端了點，其實還有更給力的方法）有什么好辦法保護這些即將逝去的數據呢？

學着上面的mask，我們不妨試着把2的N次冪減一：

0000，0001，0011，0111，01111，011111。。。

怎么樣，有啟發了嗎？

我們知道，某個數（限0和1）與1作與（&）操作，結果還是它本身；而與0作與操作結果總是0，即：

a & 1 = a,  a & 0 = 0

而我們將x對2^N取余操作希望達到的目的可以理解為：

1、所有比2^N位（包括2^N那一位）全都為0

2、所有比2^N低的位保持原樣

因此， x & （2^N-1）與x（mod 2^N）運算等價，還是13與8的例子：

1101 % 1000 = 0101    1101 & 0111 = 0101

二者結果一致。

嘿嘿，講明白了這個與運算的含義，我想上面那行代碼的含義應該很明了了，就是線性同余公式的直接套用，其中a = 0x5DEECE66DL, c = 0xBL, m = 2^48，就可以得到一個48位的隨機數，而且這個謹慎的工程師進行了迭代，增加結果的隨機性。再把結果移位，就可以得到指定位數的隨機數。

接下來我們研究一下更常用的一個函數——帶參數n的nextInt：

    public int nextInt(int n) {
        if (n <= 0)
            throw new IllegalArgumentException("n must be positive");
 
        if ((n & -n) == n)  // i.e., n is a power of 2
            return (int)((n * (long)next(31)) >> 31);
 
        int bits, val;
        do {
            bits = next(31);
            val = bits % n;
        } while (bits - val + (n-1) < 0);
        return val;
    }

 

顯然，這里基本的思路還是一樣的，先調用next函數生成一個31位的隨機數（int類型的范圍），再對參數n進行判斷，如果n恰好為2的方冪，那么直接移位就可以得到想要的結果；如果不是2的方冪，那么就關於n取余，最終使結果在[0,n)范圍內。另外，do-while語句的目的應該是防止結果為負數。

你也許會好奇為什么(n & -n) == n可以判斷一個數是不是2的次方冪，其實我也是研究了一番才弄明白的，其實，這主要與補碼的特性有關：

眾所周知，計算機中負數使用補碼儲存的（不懂什么是補碼的自己百度惡補），舉幾組例子：

2 ：0000 0010      -2 ：1111 1110

8 ：0000 1000      -8 ：1111 1000

18 ：0001 0010     -18 ：1110 1110

20 ：0001 0100     -20 ：1110 1100

不知道大家有沒有注意到，補碼有一個特性，就是可以對於兩個相反數n與-n，有且只有最低一個為1的位數字相同且都為1，而更低的位全為0，更高的位各不相同。因此兩數作按位與操作后只有一位為1，而能滿足這個結果仍為n的只能是原本就只有一位是1的數，也就是恰好是2的次方冪的數了。

不過個人覺得還有一種更好的判斷2的次方冪的方法：

n & (n-1) == 0

感興趣的也可以自己研究一下^o^。

好了，線性同余法就介紹到這了，下面簡要介紹一下另一種同余法——乘同余法（Multiplicative congruential method）。

上文中的線性同余法，主要用來生成整數，而某些情景下，比如科研中，常常只需要（0，1）之間的小數，這時，乘同余法是更好的選擇，它的基本公式和線性同余法很像：

Xn+1=（a*Xn ）(mod m ）

其實只是令線性公式中的c=0而已。只不過，為了得到小數，我們多做一步：

Yn = Xn/m  

由於Xn是m的余數，所以Yn的值介於0與1之間，由此到（0，1）區間上的隨機數列。

除此之外，還有混合同余法，二次同余法，三次同余法等類似的方法，公式類似，也各有優劣，在此不詳細介紹了。

同余法優勢在計算速度快，內存消耗少。但是，因為相鄰的隨機數並不獨立，序列關聯性較大。所以，對於隨機數質量要求高的應用，特別是很多科研領域，並不適合用這種方法。

不要走開，下篇博客介紹一個更給力的算法——梅森旋轉算法（Mersenne Twister），持續關注啊！

http://www.myexception.cn/program/1609435.html