補碼與符號位取反

先來一個 C 語言的小例子：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

int main(void)
{
    int16_t n = -1;
    n &= 0x7FFF;        // 按位與
    printf("%d", n);    // 這里輸出什么？
    return 0;
}

對於16位的整數 n ，按位與運行將最高位設置為0（符號位），得到的結果卻不是 1 ，結果是 32767 。

原因在於有符號整數的實現方式。

有符號整數，最容易想到的方式是在最高位加一個符號位，0表示整數，1表示負數，其它位不變（保留原始值），也即是原碼方式。但這個方式有一個問題，存在兩個0，正0和負0，在計算時需要先判斷符號位，然后才能決定用加法還是減法，機器計算不便。

另外一個方法是負數全部按位取反，也就是反碼方式。這個運算就相對簡單了，進行加法時，按位計算，0和0為0，0為1為1，1和1為0並產生進位，最高位有進位時，結果要加1，減法可處理為其負數的加法。但還是有點問題，還存在兩個0，正0和負0。

問題是出現負數上，那么把負數的反碼 + 1 ，不就把負0去掉了嗎？還真的是這樣，而同時負數比整數能多表示一個數（這是基於同余的）。

嚴格的表達為：

對於位數為 n 的整數，其補碼 [x]補 為：(2^n + x) mod 2^n ，
表示的范圍為 -2^(n-1) <= n < 2^(n-1) ，注意正數最大為 2^(n-1)-1
即：
當 0 <= x < 2^(n-1) 時，
[x]補 = x 的原碼
當 -2^(n-1) <= x < 0 時，
[x]補 = 2^n + x 的原碼。

而經驗上，可看作負數的補碼為其反碼加1（特殊數 -2^(n-1) ） 的反碼 ：

x < 0 時：
[x]補 = [x]反 + 1
特殊數 [ -2^(n-1) ] = 100...0

它的加法處理非常簡單，符號位也可以運行，

[x+y]補 = (2^n + x + y) mod 2^n = ((2^n + x) + (2^n + y)) mod 2^n = [x]補 + [y]補
[x-y]補 = (2^n + x - y) mod 2^n = ... = [x]補 + [-y]補

現在回到原來的問題，對於16位 -1 ，其補碼為:

[-1]補 = [-1]反 + 1 = 0xFFFFF

按位與去掉符號位，得到的是 0x7FFF 也就是16位整數最大的正數（ 2^15 - 1） 32767。