前言
之前學習上下界網絡流的時候，花了很多時間去理解建模的方式和原理，然而今天復習的時候發現忘得差不多了QwQ。於是參考了一下以前的代碼，再次做了個總結，放在博客里，省得以后忘掉QwQ。
無源匯可行流
建模方法：
首先建立一個源$ss$和一個匯$tt$，一般稱為附加源和附加匯。
對於圖中的每條弧$<u,v>$，假設它容量上界為$c$，下界$b$，那么把這條邊拆為三條只有上界的弧。
一條為$<ss,v>$，容量為$b$；
一條為$<u,tt>$，容量為$b$；
一條為$<u,v>$，容量為$c-b$。
其中前兩條弧一般稱為附加弧。
然后對這張圖跑最大流，以$ss$為源，以$tt$為匯，如果所有的附加弧都滿流，則原圖有可行流。
這時，每條非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原圖中這條弧應該有的流量。
理解方法：
對於原圖中的每條弧，我們把$c-b$稱為它的自由流量，意思就是只要它流滿了下界，這些流多少都沒問題。
既然如此，對於每條弧$<u,v>$，我們強制給$v$提供$b$單位的流量，並且強制從$u$那里拿走$b$單位的流量，這一步對應着兩條附加弧。
如果這一系列強制操作能完成的話，也就是有一組可行流了。
注意：這張圖的最大流只是對應着原圖的一組可行流，而不是原圖的最大或最小流。
有源匯可行流
建模方法：
建立弧$<t,s>$，容量下界為$0$，上界為$\infty$。
然后對這個新圖（實際上只是比原圖多了一條邊）按照無源匯可行流的方法建模，如果所有附加弧滿流，則存在可行流。
求原圖中每條邊對應的實際流量的方法，同無源匯可行流，只是忽略掉弧$<t,s>$就好。
而且這時候弧$<t,s>$的流量就是原圖的總流量。
理解方法：
有源匯相比無源匯的不同就在於，源和匯是不滿足流量平衡的，那么連接$<t,s>$之后，源和匯也滿足了流量平衡，就可以直接按照無源匯的方式建模。
注意：這張圖的最大流只是對應着原圖的一組可行流，而不是原圖的最大或最小流。
有源匯最大流
建模方法：
首先按照有源匯可行流的方法建模，如果不存在可行流，更別提什么最大流了。
如果存在可行流，那么在運行過有源匯可行流的圖上（就是已經存在流量的那張圖，流量不要清零），跑一遍從$s$到$t$的最大流（這里的$s$和$t$是原圖的源和匯，不是附加源和附加匯），就是原圖的最大流。
理解方法：
為什么要在那個已經有了流量的圖上跑最大流？因為那張圖保證了每條弧的容量下界，在這張圖上跑最大流，實際上就是在容量下界全部滿足的前提下盡量多得獲得“自由流量”。
注意，在這張已經存在流量的圖上，弧$<t,s>$也是存在流量的，千萬不要忽略這條弧。因為它的相反弧$<s,t>$的流量為$<t,s>$的流量的相反數，且$<s,t>$的容量為0，所以這部分的流量也是會被算上的。
有源匯最小流
有源匯最小流的常見建模方法比較多，我就只說我常用的一種。
建模方法：
首先按照有源匯可行流的方法建模，但是不要建立$<t,s>$這條弧。
然后在這個圖上，跑從附加源$ss$到附加匯$tt$的最大流。
這時候再添加弧$<t,s>$，下界為$0$，上界為$\infty$。
在現在的這張圖上，從$ss$到$tt$的最大流，就是原圖的最小流。
理解方法：
我們前面提到過，有源匯可行流的流量只是對應一組可行流，並不是最大或者最小流。
並且在跑完有源匯可行流之后，弧$<t,s>$的流量就是原圖的流量。
從這個角度入手，我們想讓弧$<t,s>$的流量盡量小，就要盡量多的消耗掉那些“本來不需要經過$<t,s>$”的流量。
於是我們在添加$<t,s>$之前，跑一遍從$ss$到$tt$的最大流，就能盡量多的消耗那些流量啦QwQ。
總結
口胡完畢。
我姿勢水平不高，沒見過什么上下界網絡流的題（或許真的不常考？），唯一見過的一道就放上來叭QwQ。
題目與題解
Inspection LA 4597 NEERC 2009
題解還請看我的博客QwQ：http://www.cnblogs.com/mlystdcall/p/6734979.html