CF697E && CF696C PLEASE

題意：給你三個杯子，一開始鑰匙放在中間的杯子里，然后每一回合等概率將左右兩個杯子中的一個與中間杯子交換。求n回合之后鑰匙在中間杯子的概率。這里要求概率以分數形式輸出，先化成最簡，然后對1e9 + 7取模。

題解：首先我們可以輕易得到一個遞推式：$ d[i] = \frac{{1 - d[i - 1]}}{2} $

但遞推式是不行的，我們要得到一個封閉形式。

運用數列技巧，我們可以進行如下變換：$d[i] - \frac{1}{3} =  - \frac{1}{2}(d[i - 1] - \frac{1}{3})$

那么我們有 $d[n] = \frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{{3 \times {2^{n - 1}}}}$

其中我們發現，${{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}$ 一定是3的倍數，且商一定是奇數，所以與剩下部分互質

也即  $p = \frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{3}$  $q = {2^{n - 1}}$

帶進去算就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007

inline LL read() {
    LL x = 0, f = 1; char a = getchar();
    while(a < '0' || a > '9') { if(a == '-') f = -1; a = getchar(); }
    while(a >= '0' && a <= '9') x = x * 10 + a - '0', a = getchar();
    return x * f;
}

int n, p = 2, q, f = 1;

inline int fpow(int x, LL k) {
    int ret = 1;
    while(k) {
        if(k & 1) ret = 1LL * ret * x % mod;
        k /= 2; x = 1LL * x * x % mod;
    }
    return ret;
} 

int main() {
    n = read();
    LL tmp; int inv2 = fpow(2, mod -2), inv3 = fpow(3, mod - 2);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        tmp = read();
        f = 1LL * f * tmp % 2;
        p = fpow(p, tmp);
    }
    q = 1LL * p * inv2  % mod;    
    p = 1LL * (q + (f ? -1 : 1)) * inv3 % mod;
    printf("%d/%d\n" ,p ,q);
    return 0;
}