時間復雜度和空間復雜度簡述

　　定義:一個算法中的語句執行次數稱為 語句頻度 或 時間頻度;

　　約定:檢驗算法的效率，主要考慮 最壞時間復雜度 和 平均時間復雜度 一般不特別說明，討論的時間復雜度均是最壞情況下的時間復雜度

1、時間復雜度

　　一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。並且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。

　　在時間頻度中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時,時間頻度T(n)也會不斷變化。但是它的變化是有規律的，所以引入時間復雜度這個概念。一般情況下，算法中的基本操作重復次數的是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n),使得當n趨近於無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=Ｏ(f(n)),稱Ｏ(f(n)) 為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

　　計算時間復雜度

　　(1) 如果算法的執行時間不隨着問題的規模n的增長而增長，即使算法中有上千條語句，執行時間也只是一個比較大的常數。此類算法的時間復雜度為O(1);

　　　按數量級遞增排列，常見的時間復雜度有：常數階O(1),對數階O(log₂n),線性階O(n), 線性對數階O(nlog₂n),平方階O(n²)，立方階O(n³),...， k次方階O(n^k),指數階O(2ⁿ)。隨着問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

i = 100000;
while(i--) {
  printf("hello");
}

　　解答:

　　這個算法循環100000次，雖然它運行次數非常多，但是主要執行的第三行的執行時間是常數值，所以他的時間復雜度為常數階O(1);

　　(2) 當有多個循環嵌套時，算法的時間復雜度是由嵌套層數最多的循環語句的語句頻度決定的

x=0; 
for(i=1;i<=n;i++) 
    for(j=1;j<=i;j++)
       for(k=1;k<=j;k++)
          x++; 

　　這個算法中主要執行的是第5行，它的執行時間是常數值，但是它上面有三層循環，每層每次分別執行是(從最外層到內) [(n-1) ]，[(n-1)+(n-2) ....]，[(n-1-1)+(n-2-1) ....] 次，所以該算法的時間復雜度為O(n³+ 剩余低次項) ≈O(n³);

　　PS: 簡單的計算方式(只能參考): 一個循環為n，一個嵌套是n⁺¹，並列時是+n，最后結果取最大項;

2、空間復雜度

　　一個程序的空間復雜度是指運行完一個程序所需內存的大小。

　　(1) 固定部分。這部分空間的大小與輸入/輸出的數據的個數多少、數值無關。主要包括指令空間（即代碼空間）、數據空間（常量、簡單變量）等所占的空間。這部分屬於靜態空間。

　　(2) 可變空間，這部分空間的主要包括動態分配的空間，以及遞歸棧所需的空間等。這部分的空間大小與算法有關。

　　一個算法所需的存儲空間用f(n)表示。S(n)=O(f(n))　其中n為問題的規模，S(n)表示空間復雜度。