#跟蹤微分器(Tracking Differentiator)
時延不同的兩個慣性環節的信號相減，再除以時延之差，可以獲得不錯的微分效果。而慣性環節本質上是對信號的濾波與跟蹤。當兩個慣性環節相差很小的時候，這樣的微分器可以近似表示為：
$$W(s) = \frac{ r^{2} s } { s^{2} + 2rs + r^{2} }$$
上式中的跟蹤環節實際上是二階線性系統，相當於二階濾波器。一般的，跟蹤微分器有如下形式：
$$W(s) = \frac{ r^{m} s } { (s + r)^{ m } }$$
為什么采取這種結構呢？因為需要快速地追蹤輸入信號，所以實際上這種結構是零阻尼結構，能夠在快速性與超調之間取得平衡。
非線性跟蹤微分器又是什么呢？考慮二階積分器串聯型系統：
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &= u, |u| \leq r
\end{aligned}
\right.
$$
以原點為終點的快速最優控制綜合函數（此處存疑）為:
$$
u(x_{1}, x_{2}) = -r \text{ sign } ( x_{1} + \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )
$$
將上式中的$x_{1}$改為$x_{1} - v_{0}(t)$，其中$v_{0}(t)$表示為需要追蹤的信號，則有:
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &=
-r \text{ sign } ( x_{1} -
v_{0}(t)
+ \frac{ x_{2} | x_{2} | } {2 r } )
\end{aligned}
\right.
$$
這個系統的加速度絕對值限制在r之下，將最快地跟蹤輸入信號$v_{0}(t)$。r越大，跟蹤速度越快。取解分量之一$x_{2}$作為輸入信號的近似微分，就可以構成一種非線性跟蹤微分器。非線性跟蹤微分器的參數效率要比線性的高，相似的濾波效果，非線性跟蹤微分器的參數值較小。
菲利波夫意義：存疑
關於跟蹤微分器的定理：
設有二階微分方程
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ z_{1} } &= z_{2} \\
\dot{ z_{2} } &= f(z_{1}, z_{2})
\end{aligned}
\right.
$$
那么，對於任意有界可測信號$v(t),t \in [0, +\infty]$， 以及任意的$T$，如下微分方程：
$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{ x_{1} } &= x_{2} \\
\dot{ x_{2} } &= r^{2}f(x_{1} - v(t), \frac { x_{2} } {r} )
\end{aligned}
\right.
$$
的解的第一分量$x_{1}(r,t)$將滿足$\mathop{\lim}_{ r \to +\infty } { \int_{0}^{T}| x_{1}(r,t) - v(t) | \text{d} t} = 0 $。即當$r \to +\infty$時，該方程的解分量$x_{1}$將會收斂於給定$v(t)$。
##快速跟蹤微分器的離散形式
最速跟蹤微分器直接離散得到形式為：
$$
\left\{
\begin{aligned}
f &= - r \text{sign} ( x_{1}(k) - v(k) + \frac{ x_{2}(k) |x_{2}(k)| }{ 2r } ) \\
x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\
x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + hf
\end{aligned}
\right.
$$
最速
跟蹤微分器直接離散進行數值計算，在系統進入穩態之后，會產生高頻震顫。即使將符號函數換成線性飽和函數，也只能減小而不能避免高頻震顫，速度輸出依然很難保持為零。因為連續系統的最速控制綜合函數離散化后，並不是離散化后的系統的最優控制函數。
假設有如下離散系統：
$$
\left\{
\begin{aligned}
x_{1}(k+1) &= x_{1}(k) + h x_{2}(k) \\
x_{2}(k+1) &= x_{2}(k) + h u , |u| \leq r
\end{aligned}
\right.
$$
該離散系統的最速控制綜合函數記作$u = fhan(x_{1}, x_{2}, r, h)$，其公式如下：
$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
d &= rh \\
d_{0} &= hd \\
y &= x_{1} + h x_{2} \\
a_{0} &= \sqrt{ d^{2} + 8 r | y | } \\
a &=
\left\{
\begin{aligned}
&x_{2} + \frac{ (a_{0} - d ) } { 2 } \text{sign}(y), &|y| > d_{0} \\
&x_{2} + \frac{y}{h}, &|y| \leq d_{0}
\end{aligned}
\right.\\
fhan &= -
\left\{
\begin{aligned}
&r \text{sign}(a), &|a| > d \\
&r \frac{a}{d}, &|a| \leq d
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\right.
\label{fhan_equation}
\end{equation}
$$
#存疑
P128，線性反饋閉環系統抑制未知擾動的能力的論述。
2.7 離散系統快速最優控制綜合函數的推導過程為什么需要用到G(2)的等時曲線，因為二階系統最少需要用到2步才能達到最優狀態嗎？