作者：桂。
時間：2017-03-24 18:46:24
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前言
本文的應用背景是：對序列信號進行頻域變換，從而估計頻率。但在信號處理中，通常需要對數據進行量化，以此減少量化位數從而減少數據量，另外在進行頻域變換時，對頻域的旋轉矩陣進行量化，同樣可以減少數據量。本文對應的專業術語：MonoDFT、單比特。全文主要分為：
1）數據的量化；
2）傅里葉旋轉矩陣量化；
之前朋友問我這個問題，覺得也算一種減少數據運算量的粗糙方式，記錄在此。
一、數據的量化
對采樣的數據進行量化，量化位數可以根據需求選定，正常數據量過大的話對於高頻采樣難以保證精度，此處以單比特為例。即$s_{quan} = sign(s)$。
以采樣率為$40Hz$為例，頻率為8的信號，對比采樣信號與單比特量化后的信號：
可以看出盡管由於單比特后信號成方波狀，引入諧波分量誤差以及其他頻率的雜波，但如果僅僅為了測頻——找到峰值點，則仍然是有效的。
二、旋轉矩陣的量化
該測頻方法有專業術語：MonoDFT.
即對矩陣W進行量化：
其實W對應在頻率圓周上采樣：
量化以后可以簡化運算（比如只用加減），具體不詳細討論，給出量化示意圖，以W量化成4個不同取值為例：
以8HZ信號進行頻率估計：
可以看出雖然引入誤差，但在信噪比合適的情況下，處理后的數據完全足以估計信號頻率。
但由於誤差的引入，只能對單個信號較為有效，以兩個為例：
這是兩個信號，但第二個頻率分量已經淹沒在噪聲中。
給出代碼：
clc;clear all;close all;
set(0,'defaultfigurecolor','w');
fs = 40;
f1 = 8;
f2 = 3;
t_end = 5;
t = 0:1/fs:t_end;
s1 = 0.35*sin(2*pi*f1*t);
s2 = sin(2*pi*f2*t);
s = s1+s2;
f = t/max(t)*fs;
N = length(t);
%====原數據-DFT
W = exp(-j*2*pi/N).^([0:N-1]'*[0:N-1]);
Sori = W*s';
%====單比特-DFT
s1 = sign(s);
Sori1 = W*s1';
%====單比特+旋轉因子量化
flag1 = real(W)>imag(W);
flag2 = real(W)>(-imag(W));
W1 = flag1.*flag2;
W2 = 1j*(~flag1).*flag2;
W3 = -(~flag1).*(~flag2);
W4 = -1j*flag1.*(~flag2);
Wnew = W1+W2+W3+W4;
Sori2 = Wnew*s1';
%====figure
figure;
subplot 321
stairs(t,s,'k');grid on;
xlim([0,t_end]);
ylim([-2,2]);
subplot 322
plot(f,abs(Sori),'k');grid on;title('原始信號');
subplot 323
stairs(t,s1,'k');grid on;
xlim([0,t_end]);
ylim([-2,2]);
subplot 324
plot(f,abs(Sori1),'k');grid on;title('單比特量化信號');
subplot 325
stairs(t,s1,'k');grid on;
xlim([0,t_end]);
ylim([-2,2]);
subplot 326
plot(f,abs(Sori2),'k');grid on;title('單比特量化+矩陣量化信號');