大數運算（1）—— 加法篇

 前言

　　最近遇到一道求階乘的題目，原以為極其簡單，但是階乘的結果超過了范圍最大的基本數據類型的范圍，於是就着手研究大數運算（large number computing），本篇先介紹大數加法。

原理

　　大數運算的原理其實就是模擬人工計算（注記：再考慮是否有其他算法。注記日期：2017.3.19），人工加法計算步驟如下：

　　　　1.將兩個操作數（operand）位數對齊。

　　　　2.從最低位開始，計算兩個操作數每位的總和再加上進位數（第一位數為0）的結果，保留其個位數。

　　　　3.若上述的結果大於10，進位數置為1，否則為0。（每位數相加的結果不會超過 9 + 9 = 18 ， 因此進位數只有1和0）

　　　　4.重復上述步驟2、3，直到計算完兩個操作數其中那個位數小的最高位。

　　知曉了步驟，就需要考慮設計儲存操作數的數據結構。首先使用列表是毋庸置疑的，而順序結構和鏈表結構其實都行，這里為里減少代碼量和說明問題，暫且使用順序結構。

　　綜上，給出操作數的結構體如下：

typedef struct operand
{
    int data[100];
    int digit;    // 記錄該數位數
} OPERAND;

　　注意，這里給出最大位數為100，下面給出的代碼中沒有考慮溢出問題，請讀者自行解決。

實現

　　首先，思考上述步驟1的對齊問題，可以定義一個偏移量（offset）來存儲兩個操作數的位數之差，之后遍歷的時候可以給位數少的增加偏移量來達到對齊目的。可是這種做法會增加一定的代碼量，因此不妨試着把數字倒着存放，即數組第一個元素存儲操作數的最低位（注意前述做法的前提與此相反），這樣做就省去了寫對齊的代碼。

　　下面給出該出加法函數，其中結果保存到第一個操作數中：

void plus(OPERAND* operand1,OPERAND* operand2)
{
    int carry = 0;    // 進位標記
    int i = 0 , j = 0;
    for(;i < operand1->digit || j < operand2->digit;i++ , j++)
    {
        int sum = operand1->data[i] + operand2->data[j] 
                  + carry;    // 計算該位數總和加上進位數
        operand1->data[i] = sum % 10;    // 更新該位數的數據
        carry = (sum >= 10)? 1 : 0 ;    // 判斷是否進位
    }
    operand1->digit = (operand1->digit > operand2->digit)?
                       operand1->digit : operand2->digit ;
                       // 更新位數
    if(carry)    // 若最后需要進位
    {
        operand1->data[operand1->digit] = 1;
        operand1->digit += 1;
    }
}

　　其中，sum % 10 用於求個位數，還有注意最后別忘了最高位的進位問題。