1、測量誤差與測量結果的不確定度
①測量誤差的定義
首先，需要明確測量誤差的定義。當我們進行測量時，由於理論的近似性、實驗儀器的局限性等，測量結果總不可能絕對准確。待測物理量的真值同我們的測量值之間總會存在某種差異。我們將測量誤差定義為
測量誤差=測量值-真值
②測量誤差的分類
其次，按照習慣的分類方法，根據誤差的性質，誤差又分為系統誤差和隨機誤差。
③系統誤差
我們在這里討論系統誤差。系統誤差指的是在相同條件下，多次測量同一物理量時，測量值對真值的偏離總是相同的誤差。其造成原因大概分為三類：
（1）、實驗理論、計算公式的局限性（例：測量單擺周期中使用在擺角趨於0的情況下的周期公式）
（2）、儀器的使用問題
（3）、測量者的生理心理因素的影響
（4）、未定系統誤差（例如儀器的允差）
④隨機誤差
與系統誤差相對應，隨機誤差是由於偶然的、不確定的因素造成每一次測量值的無規律的漲落，這類誤差我們稱作隨機誤差。
隨機誤差的特點在於它的隨機性。即如果在相同宏觀條件下，對某一物理量進行多次測量，每次的測量結果都不相同。但當測量次數足夠多時，我們一般認為大多數的隨機誤差近似符合正態分布。
不妨記隨機誤差為連續型隨機變量x，其概率密度函數為。由“概率論”中對於隨機變量的數字特征的定義
數學期望
方差
正態分布的概率密度函數（1.1）
正態分布的函數圖形如圖1所示。
對於標准正態分布，其期望為0，標准差為。
我們可以發現（1.1）式的
，
，
我們用符號e表示誤差絕對值可能的最大取值，x落入區間[-3,3]以外的可能性很小，所以一般稱e=3為極限誤差。
除了正態分布外，我們還經常會將誤差分布近似看做均勻分布，這時。
⑤對於誤差的處理
一般來講，誤差是不可避免的、不可消除的。但是改進實驗方案和實驗操作可以減小系統誤差，進行多次測量可以減小隨機誤差。下面我們舉一個例子：在物理實驗中，經常會用到鼓輪式尺（比如在測量顯微鏡和聲速測定儀中），而由於儀器的問題，不可避免有主尺和副尺零點不重合的問題。此時若是將全部讀數都向上或向下進位都會造成巨大的系統誤差，這就需要實驗操作者在進行每次讀數時都思考如何讀數。【附加如何讀數的問題】
⑥不確定度的定義
為了表達含有誤差的實驗結果，我們一般將實驗結果寫成（1.2）
（1.2）式中，Y是待測物理量，N為該物理量的測量值（既可以是單次測量值，亦可以是相同實驗條件下的多次測量值），是一個恆正的量，稱為“不確定度”。
（1.2）的含義是。它表示待測物理量的真值有一定概率在上述范圍內。這里所說的“一定概率”一般被稱做“置信概率”，而則被稱作“置信區間”。當置信概率=1時，就被稱作極限誤差，即前文提到的e。
也有時被寫成c的形式，此時（1.2）式應寫為
系數c被稱作置信系數。對於一定的概率分布，置信系數與置信概率成一一對應的關系。
⑦不確定度的估計（有些地方限於能力省略解釋）
（1） 直接測量，且只測量一次的不確定度：
這時一般取儀器的允差。
（2） 直接測量，且相同條件下多次測量的不確定度
根據前文的誤差理論，我們一般認為實驗結果的算術平均值為多次測量的最佳值，記為。那么我們可以根據貝塞爾公式近似地認為，每個實驗數據的標准差（這里只是一個近似處理）
所以各組實驗數據的
二、測量結果的書寫規則
①數值的書寫規則
測量結果的有效數字位數由不確定度來確定．由於不確定度本身只是一個估計值，一般情況下，不確定度的有效數字位數只取一到兩位．測量值的末位須與不確定度的末位取齊．在初學階段，可以認為有效數字只有最后一位是不確定的．相應地，不確定度也只取一位有效數字，例如 L =（1.00 ±0.02 ）cm．一次直接測量結果的有效數字，由儀器極限誤差或估計的不確定度來確定．多次直接測量算術平均值的有效數字，由計算得到平均值的不確定度來確定．間接測量結果的有效數字，也是先算出結果的不確定度，再由不確定度來確定．
當數值很大或很小時，用科學計數法來表示。
②有效數字的運算規則
在有效數字運算過程中，為了不致因運算而引進“誤差”或損失有效位數，影響測量
結果的精度，統一規定有效數字的近似運算規則如下：
（1 ）諸量相加（或相減）時，其和（或差）數在小數點后所應保留的位數與諸數中小數點后位數最少的一個相同；
（2 ）諸量相乘（或除）后保留的有效數字，只須與諸因子中有效數字最少的一個相同．
（3 ）乘方與開方的有效數字與其底的有效數字位數相同．
（4 ）一般來說，函數運算的位數應根據誤差分析來確定．在物理實驗中，為了簡便和統一起見，對常用的對數函數、指數函數和三角函數作如下規定：對數函數運算后的尾數取得與真數的位數相同；指數函數運算后的有效數字的位數可與指數的小數點后的位數相同（包括緊接小數點后的零）；三角函數的取位隨弧度的有效數字而定；
（5 ）在運算過程中，我們可能碰到一種特定的數，它們叫作正確數．例如將半徑化為直徑d = 2r 時出現的倍數2 ，它不是由測量得來的．還有實驗測量次數 n，它總是正整數，沒有可疑部分．正確數不適用有效數字的運算規則，只須由其他測量值的有效數字的多少來決定運算結果的有效數字；
（6 ）在運算過程中，我們還可能碰到一些常數, 如π、g 之類，一般我們取這些常數與測量的有效數字的位數相同，例如：圓周長 l ＝ 2πR，當 R＝2.356 mm時，此時π應取3.142．