本篇口胡寫給我自己這樣的老是證錯東西的口胡選手 以及那些想學支配樹，又不想啃論文原文的人…
大概會講的東西是求支配樹時需要用到的一些性質，以及構造支配樹的算法實現…
最后講一下把只有路徑壓縮的並查集卡到$O(m \log n)$上界的辦法作為小彩蛋…
1、基本介紹 支配樹 DominatorTree
對於一個流程圖（單源有向圖）上的每個點$w$，都存在點$d$滿足去掉$d$之后起點無法到達$w$，我們稱作$d$支配$w$，$d$是$w$的一個支配點。
支配$w$的點可以有多個，但是至少會有一個。顯然，對於起點以外的點，它們都有兩個平凡的支配點，一個是自己，一個是起點。
在支配$w$的點中，如果一個支配點$i \neq w$滿足$i$被$w$剩下的所有非平凡支配點支配，則這個$i$稱作$w$的最近支配點(immediate dominator)，記作$idom(w)$。
定理1：我們把圖的起點稱作$r$，除$r$以外每個點均存在唯一的$idom$。
這個的證明很簡單：如果$a$支配$b$且$b$支配$c$，則$a$一定支配$c$，因為到達$c$的路徑都經過了$b$所以必須經過$a$；如果$b$支配$c$且$a$支配$c$，則$a$支配$b$（或者$b$支配$a$），否則存在從$r$到$b$再到$c$的路徑繞過$a$，與$a$支配$c$矛盾。這就意味着支配定義了點$w$的支配點集合上的一個全序關系，所以一定可以找到一個“最小”的元素使得所有元素都支配它。
於是，連上所有$r$以外的$idom(w) \to w$的邊，就能得到一棵樹，其中每個點支配它子樹中的所有點，它就是支配樹。
支配樹有很多食用…哦不…是實際用途。比如它展示了一個信息傳遞網絡的關鍵點，如果一個點支配了很多點，那么這個點的傳遞效率和穩定性要求都會很高。比如Java的內存分析工具(Memory Analyzer Tool)里面就可以查看對象間引用關系的支配樹…很多分析上支配樹都是一個重要的參考。
為了能夠求出支配樹，我們下面來介紹一下需要用到的基本性質。
2、支配樹相關性質
首先，我們會使用一棵DFS樹來幫助我們計算。從起點出發進行DFS就可以得到一棵DFS樹。
觀察上面這幅圖，我們可以注意到原圖中的邊被分為了幾類。在DFS樹上出現的邊稱作樹邊，剩下的邊稱為非樹邊。非樹邊也可以分為幾類，從祖先指向后代（前向邊），從后代指向祖先（后向邊），從一棵子樹內指向另一棵子樹內（橫叉邊）。樹邊是我們非常熟悉的，所以着重考慮一下非樹邊。
我們按照DFS到的先后順序給點從小到大編號（在下面的內容中我們通過這個比較兩個節點），那么前向邊總是由編號小的指向編號大的，后向邊總是由大指向小，橫叉邊也總是由大指向小。現在在DFS樹上我們要證明一些重要的引理：
引理1（路徑引理）：
如果兩個點$v,w$滿足$v \leq w$，那么任意$v$到$w$的路徑經過$v,w$的公共祖先。（注意這里不是說LCA）
證明：
如果$v,w$其中一個是另一個的祖先顯然成立。否則刪掉起點到LCA路徑上的所有點（這些點是$v,w$的公共祖先），那么$v$和$w$在兩棵子樹內，並且因為公共祖先被刪去，無法通過后向邊到達子樹外面，前向邊也無法跨越子樹，而橫叉邊只能從大到小，所以從$v$出發不能離開這顆子樹到達$w$。所以如果本來$v$能夠到達$w$，就說明這些路徑必須經過$v,w$的公共祖先。
在繼續之前，我們先約定一些記號：
$V$代表圖的點集，$E$代表圖的邊集。
$a \to b$代表從點$a$直接經過一條邊到達點$b$，
$a \leadsto b$代表從點$a$經過某條路徑到達點$b$，
$a \dot \to b$代表從點$a$經過DFS樹上的樹邊到達點$b$（$a$是$b$在DFS樹上的祖先），
$a \overset{+}{\to} b$代表$a \dot \to b$且$a \neq b$。
定義 半支配點(semi-dominator)：
對於$w \neq r$，它的半支配點定義為$sdom(w)=\min\{ v | \exists (v_0,v_1,\cdots,v_{k-1},v_k), v_0 = v, v_k = w, \forall 1 \leq i \leq k-1, v_i>w \}$
對於這個定義的理解其實就是從$v$出發，繞過$w$之前的所有點到達$w$。（只能以它之后的點作為落腳點）
注意這只是個輔助定義，並不是真正的支配點。甚至在只保留$w$和$w$以前的點時它都不一定是支配點。例子：$V = \{1,2,3,4\}, E = \{(1,2),(2,3),(3,4),(1,3),(2,4)\}, r = 1, sdom(4) = 2$，但是$2$不支配$4$。不過它代表了有潛力成為支配點的點，在后面我們可以看到，所有的$idom$都來自自己或者另一個點的$sdom$。
引理2
對於任意$w \neq r$，有$idom(w) \overset{+}{\to} w$。
證明很顯然，如果不是這樣的話就可以直接通過樹邊不經過$idom(w)$就到達$w$了，與$idom$定義矛盾。
引理3
對於任意$w \neq r$，有$sdom(w) \overset{+}{\to} w$。
證明：
對於$w$在DFS樹上的父親$fa_w$，$fa_w \to w$這條路徑只有兩個點，所以滿足$sdom$定義中的條件，於是它是$sdom(w)$的一個候選。所以$sdom(w) \leq fa_w$。在這里我們就可以使用路徑引理證明$sdom(w)$不可能在另一棵子樹，因為如果是那樣的話就會經過$sdom(w)$和$w$的一個公共祖先，公共祖先的編號一定小於$w$，所以不可行。於是$sdom(w)$就是$w$的真祖先。
引理4
對於任意$w \neq r$，有$idom(w) \dot \to sdom(w)$。
證明：
如果不是這樣的話，按照$sdom$的定義，就會有一條路徑是$r \dot \to sdom(w) \leadsto w$不經過$idom(w)$了，與$idom$定義矛盾。
引理5
對於滿足$v \dot \to w$的點$v,w$，$v \dot \to idom(w)$或$idom(w) \dot \to idom(v)$。
（不嚴謹地說就是$idom(w)$到$w$的路徑不相交或者被完全包含，其實$idom(w)$這個位置是可能相交的）
證明：
如果不是這樣的話，就是$idom(v) \overset{+}{\to} idom(w) \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} w$，那么存在路徑$r \dot \to idom(v) \leadsto v \overset{+}{\to}w$不經過$idom(w)$到達了$w$（因為$idom(w)$是$idom(v)$的真后代，一定不支配$v$，所以存在繞過$idom(w)$到達$v$的路徑），矛盾。
上面這5條引理都比較簡單，不過是非常重要的性質。接下來我們要證明幾個定理，它們揭示了$idom$與$sdom$的關系。證明可能會比上面的復雜一點。
定理2
對於任意$w \neq r$，如果所有滿足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$也滿足$sdom(u) \geq sdom(w)$，那么$idom(w) = sdom(w)$。
$$ sdom(w) \dot \to sdom(u) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$
證明：
由上面的引理4知道$idom(w) \dot \to sdom(w)$，所以只要證明$sdom(w)$支配$w$就可以保證是最近支配點了。對任意$r$到$w$的路徑，取上面最后一個編號小於$sdom(w)$的$x$（如果$sdom$就是$r$的話顯然定理成立），它必然有個后繼$y$滿足$sdom(w) \dot \to y \dot \to w$（否則$x$會變成$sdom(w)$），我們取最小的那個$y$。同時，如果$y$不是$sdom(w)$，根據條件，$sdom(y) \geq sdom(w)$，所以$x$不可能是$sdom(y)$，這就意味着$x$到$y$的路徑上一定有一個$v$滿足$x \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} y$，因為$x$是小於$sdom(w)$的最后一個，所以$v$也滿足$sdom(w) \dot \to v \dot \to w$，但是我們取的$y$已經是最小的一個了，矛盾。於是$y$只能是$sdom(w)$，那么我們就證明了對於任意路徑都要經過$sdom(w)$，所以$sdom(w)$就是$idom(w)$。
定理3
對於任意$w \neq r$，令$u$為所有滿足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一個，那么$sdom(u) \leq sdom(w) \Rightarrow idom(w) = idom(u)$。
$$ sdom(u) \dot \to sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w $$
證明：
由引理5，有$idom(w) \dot \to idom(u)$或$u \dot \to idom(w)$，由引理4排除后面這種。所以只要證明$idom(u)$支配$w$即可。類似定理2的證明，我們取任意$r$到$w$路徑上最后一個小於$idom(u)$的$x$（如果$idom(u)$是$r$的話顯然定理成立），路徑上必然有個后繼$y$滿足$idom(u) \dot \to y \dot \to w$（否則$x$會變成$sdom(w)$），我們取最小的一個$y$。類似上面的證明，我們知道$x$到$y$的路徑上不能有點$v$滿足$idom(u) \dot \to v \overset{+}{\to} y$，於是$x$成為$sdom(y)$的候選，所以$sdom(y) \leq x$。那么根據條件我們也知道了$y$不能是$sdom(w)$的真后代，於是$y$滿足$idom(u) \dot \to y \dot \to sdom(w)$。但是我們注意到因為$sdom(y) \leq x$，存在一條路徑$r \dot \to sdom(y) \leadsto y \dot \to u$，如果$y$不是$idom(u)$的話這就是一條繞過$idom(u)$的到$u$的路徑，矛盾，所以$y$必定是$idom(u)$。所以任意到$w$的路徑都經過$idom(u)$，所以$idom(w)=idom(u)$ 。
幸苦地完成了上面兩個定理的證明，我們就能夠通過$sdom$求出$idom$了：
推論1
對於$w \neq r$，令$u$為所有滿足$sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w$的$u$中$sdom(u)$最小的一個，有
$$ idom(w) = \left \{ \begin{aligned}& sdom(w)&(sdom(u)=sdom(w))&\\ &idom(u)&(sdom(u)<sdom(w))&\end{aligned} \right .$$
通過定理2和定理3可以直接得到。這里一定有$sdom(u) \leq sdom(w)$，因為$w$也是$u$的候選。
接下來我們的問題是，直接通過定義計算$sdom$很低效，我們需要更加高效的方法，所以我們證明下面這個定理：
定理4
對於任意$w \neq r$，$sdom(w) = min(\{v | (v, w) \in E , v < w \} \cup \{sdom(u) | u > w , \exists (v, w) \in E , u \dot \to v\} )$
證明：
令等號右側為$x$，顯然右側的點集中都存在路徑繞過$w$之前的點，所以$sdom(w) \leq x$。然后我們考慮$sdom(w)$到$w$的繞過$w$之前的點的路徑，如果只有一條邊，那么必定滿足$(sdom(w),w) \in E$且$sdom(w)<w$，所以此時$x \leq sdom(w)$；如果多於一條邊，令路徑上$w$的上一個點為$last$，我們取路徑上除兩端外滿足$p \dot \to last$的最小的$p$（一定能取得這樣的$p$，因為$last$是$p$的候選）。因為這個$p$是最小的，所以$sdom(w)$到$p$的路徑必定繞過了$p$之前的所有點，於是$sdom(w)$是$sdom(p)$的候選，所以$sdom(p) \leq sdom(w)$。同時，$sdom(p)$還滿足右側的條件（$p$在繞過$w$之前的點的路徑上，於是$p>w$，並且$p\dot \to last$，同時$last$直接連到了$w$），所以$sdom(p)$是$x$的候選，$x \leq sdom(p)$。所以$x \leq sdom(p) \leq sdom(w)$，$x \leq sdom(w)$。綜上，$sdom(w) \leq x$且$x \leq sdom(w)$，所以$x=sdom(w)$。
好啦，最困難的步驟已經完成了，我們得到了$sdom$的一個替代定義，而且這個定義里面的形式要簡單得多。這種基本的樹上操作我們是非常熟悉的，所以沒有什么好擔心的了。接下來就可以給出我們需要的算法了。
3、Lengauer-Tarjan算法
算法流程：
1、初始化、跑一遍DFS得到DFS樹和標號
2、按標號從大到小求出$sdom$（利用定理4）
3、通過推論1求出所有能確定的$idom$，剩下的點記錄下和哪個點的$idom$是相同的
4、按照標號從小到大再跑一次，得到所有點的$idom$
很簡單對不對~有了理論基礎后算法就很顯然了。
具體實現：
大致要維護的東西：
$vertex(x)$ 標號為$x$的點$u$
$pred(u)$ 有邊直接連到$u$的點集
$parent(u)$ $u$在DFS樹上的父親$fa_u$
$bucket(u)$ $sdom$為點$u$的點集
以及$idom$和$sdom$數組
第1步沒什么特別的，規規矩矩地DFS一次即可，同時初始化$sdom$為自己（這是為了實現方便）。
第2、3步可以一起做。通過一個輔助數據結構維護一個森林，支持加入一條邊($link(u,v)$)和查詢點到根路徑上的點的$sdom$的最小值對應的點($eval(u)$)。那么我們求每個點的$sdom$只需要對它的所有直接前驅$eval$一次，求得前驅中的$sdom$最小值即可。因為定理4中的第一類點編號比它小，它們還沒有處理過，所以自己就是根，$eval$就能取得它們的值；對於第二類點，$eval$查詢的就是滿足$u \dot \to v$的$u$的$sdom(u)$的最小值。所以這么做和定理4是一致的。
然后把該點加入它的$sdom$的$bucket$里，連上它與父親的邊。現在它父親到它的這棵子樹中已經處理完了，所以可以對父親的$bucket$里的每個點求一次$sdom$並且清空$bucket$。對於$bucket$里的每個點$v$，求出$eval(v)$，此時$parent(w) \overset{+}{\to} eval(v) \dot \to v$，於是直接按照推論1，如果$sdom(eval(v))=sdom(v)$，則$idom(v)=sdom(v)=parent(w)$；否則可以記下$idom(v)=idom(eval(v))$，實現時我們可以寫成$idom(v)=eval(v)$，留到第4步處理。
最后從小到大掃一遍完成第4步，對於每個$u$，如果$idom(u)=sdom(u)$的話，就已經是第3步求出的正確的$idom$了，否則就證明這是第3步留下的待處理點，令$idom(u)=idom(idom(u))$即可。
對於這個輔助數據結構，我們可以選擇並查集。不過因為我們需要查詢到根路徑上的信息，所以不方便寫按秩合並，但是我們仍然可以路徑壓縮，壓縮時保留路徑上的最值就可以了，所以並查集操作的復雜度是$O(\log n)$。這樣做的話，最終的復雜度是$O(n \log n)$。（各種常見方法優化的並查集只要沒有按秩合並就是做不到$\alpha$的復雜度的，最下面我會提到如何卡路徑壓縮）
原論文還提到了一個比較奧妙的實現方法，能夠把這個並查集優化到$\alpha$的復雜度，不過看上去比較迷，我覺得我會寫錯，所以就先放着了，如果有興趣的話可以找原論文A Fast Algorithm for Finding Dominators in a Flowgraph，里面的參考文獻14是Tarjan的另一篇東西Applications of Path Compression on Balanced Trees，原論文說用的是這里面的方法…等什么時候無聊想要真正地學習並查集的各種東西的時候再看吧…（我又挖了個大坑）
代碼實現
我的變量名都很迷…不要在意…（它們可是經過了長時間的結合中文+英文+象形+腦洞的演變得出的結果）
稍微需要注意一下的就是實現時點的真實編號和DFS序中的編號的區別，DFS序的編號是用來比較的那個。以及盡量要保持一致性（要么都用真實編號，要么都用DFS序編號），否則很容易寫錯…我的這段代碼里$idom$用的是真實編號，$sdom$用的是DFS序編號，最后再跑一次把$sdom$轉成真實編號的。
4、歡快的彩蛋 卡並查集！
是不是聽到周圍有人說：“我的並查集只寫了路徑壓縮，它是單次操作$\alpha$的”。這時你要堅定你的信念，你要相信這是$O(\log n)$的。如果他告訴你這個卡不了的話…你或許會覺得確實很難卡…我也覺得很難卡…但是Tarjan總知道怎么卡。
現在確認一下純路徑壓縮並查集的實現方法：每次基本操作$find(v)$后都把$v$到根路徑上的所有點直接接在根的下面，每次合並操作對需要合並的兩個點執行$find$找到它們的根。
看起來挺優的。（其實真的挺優的，只是沒有$\alpha$那么優）
Tarjan的卡法基於一種特殊定義的二項樹（和一般的二項樹的定義不同）。
定義這種特殊的二項樹$T_k$為一類多叉樹，其中$T_1,T_2,\cdots,T_j$都是一個單獨的點，對於$T_k, k>j$，$T_k$就是$T_{k-1}$再接上一個$T_{k-j}$作為它的兒子。
就像這樣。這種定義有一個有趣的特性，如果我們把它繼續展開，可以得到各種有趣的結果。比如我們把上面圖中的$T_{k-j}$繼續展開，就會變成$T_{k-j-1}$接着$T_{k-2j}$，以此類推可以展開出一串。而如果對$T_{k-1}$繼續展開，父節點就會變成$T_{k-2}$，子節點多出一個$T_{k-j-1}$，以此類推可以展開成一層樹。下面的圖展示了展開$T_k$的不同方式。
讓我們好好考慮一下這意味着什么。從圖4到圖5…除了這些樹的編號沒有對應上以外，會不會有一種感覺，圖5像是圖4路徑壓縮后的結果。
圖4的展開方式中編號的間隔都是$j$，圖5的展開方式中間隔都是$1$…那么如果我們用圖5的方式展開出$j$棵子樹，再按圖4展開會怎么樣呢？（假設$j$整除$k$）
變成了這個樣子，就確實和路徑壓縮扯上關系了。如果在最頂上再加一個點，然后$j$次訪問底層的$T_1,T_2,\cdots,T_j$，就可以把樹壓成圖5的樣子了，不過會多一個單點的兒子出來，因為圖6中其實有兩個$T_j$（因為圖4展開到最后一層沒有了$-1$，所以會和上一層出現一次重復）。這么一來，我們又可以做一次這一系列操作了，非常神奇！（原論文里把這個叫做self-reproduction）至於$T_k$的實際點數，通過歸納法可以得到點數不超過$(j+1)^{\frac{k}{j}-1}$。（我們只對能被$j$整除的$k$進行計算，每次$j$次展開父節點進行歸納）
有了這個我們就有信心卡純路徑壓縮並查集了。令$m$代表詢問操作數，$n$代表合並操作數，不妨設$m \geq n$，我們取$j=\left \lfloor \frac{m}{n} \right \rfloor, i=\left \lfloor \log_{j+1}\frac{n}{2} \right \rfloor +1, k = ij$。那么$T_k$的大小不超過$(j+1)^{i-1}$即$\frac{n}{2}$。接下來我們做$\frac{n}{2}$組操作，每組在最頂上加入一個點，然后對底層的$j$個節點逐一查詢，每次查詢的路徑長度都是$i+1$。同時總共的查詢次數還是不超過$m$。於是總共的復雜度是$\frac{n}{2}j(i+1)=\Omega(m \log_{1+m/n} n)$。
Boom~爆炸了，所以它確實是$\log$級的。
彩蛋到這里就結束啦…如果想知道更多並查集優化方法怎么卡，可以去看這一部分參考的原論文Worst-Case Analysis of Set Union Algorithms，里面還附帶了一個表，有寫各種並查集實現不帶按秩合並和帶按秩合並的復雜度，嗯，卡並查集還是挺有趣的（只是一般人想不到呀…Tarjan太強辣）…
（題外話：這次我畫了好多圖，感覺自己好良心呀w 其實都是對着論文上的例子畫的）