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Arnold變換
Arnold變換是V.J．Arnold在遍歷理論的研究中提出的一種變換，原意為catmapping，俗稱貓臉變換。Arnold變換直觀、簡單、具有周期性，使用非常方便。Arnold變換的原理是先作x軸方向的錯切變換，再作y軸方向的錯切變換，最后的模運算相當於切割回填操作，其變換示意圖如圖4所示。
Arnold變換的置亂效果圖如圖5所示。
當對圖像進行Arnold變換時，就是把圖像的各個像素點位置按照下列公式進行移動，
從而得到一個相對原圖像比較混亂的圖像。對圖像每進行一次Arnold變換，就相當於對該圖像進行了一次置亂，一般來說這一過程需要反復進行多次才能達到令人滿意的效果。利用Arnold變換對圖像進行置亂后，使原本有意義的圖像變成了像白噪聲一樣無意義的圖像，從而實現了信息的初步隱藏。同時置亂次數可以作為水印系統的密鑰，從而進一步增強系統的安全性和保密性。
Arnold變換也是具有周期性的。F．J．Dyson和H.Falk在分析離散Arnold變換的周期性時，給出了這樣的結論：對於任意的N>2，Arnold變換的周期L≤N2/2。這是迄今為止最好的結果。計算Arnold周期的方法，對於給定的自然數N>2，下式的Arnold變換周期M是使得它成立的最小自然數n。
例如，尺寸為32×32的二值水印圖像，根據文相關結論，大小為32×32的二值圖像置亂迭代6次置亂度最大。所以N=32，對水印置亂的次數k=6（k可作為密鑰），可以算出N=32時，周期M=24。因此，如果開始對水印置亂了6次，那么在提取水印后還要再對水印置亂24 -6—18次才能得到原來的水印圖像，如圖6所示。
圖像的大小與Arnold變換的周期的關系，如表1所示。
Arnold反變換
如前所述，Arnold變換是具有周期性的，反復使用Arnold變換，可以在某一時刻恢復原始圖像。但是Arnold變換的周期性與圖像的大小有關，如果我們利用它的周期性來達到恢復原圖的目的，勢必要花費很長時間。然而在實際應用中，應該盡可能地減少計算時間和計算量，我們希望Arnold變換的周期越短越好，所以在設計數字水印圖像的大小時，我們往往會選擇Arnold變換周期比較小的圖像，而這也在一定程度上限制了圖像的選擇，而且選擇圖像前需要事先計算出它的周期，從而增加了工作量。這個問題可以通過Arnold反變換的方法解決。
Arnofd變換式為：
假設：
其中，t1，t2為整數，則：
則Arnold反變換為：
用數學歸納法可以證明，當作n次變換時，即：
時，Arnold反變換為：
其中，(x，y)是原圖像的像素點，(x’，y’)是變換后圖像的像素點。利用Arnold反變換式可以將水印圖像進行恢復。
由以上可以得出，對一幅置亂m次的圖像進行恢復時，只要恢復后的圖像的置亂次數k滿足0≤k≤m，圖像的恢復都可以通過對置亂圖像作m-k次Arnold反變換得到，顯然當k=0時，反變換后的圖像就是原圖像。
Arnold反變換的方法使Arnold變換置亂圖像的恢復不再需要計算出圖像變換的周期，並且可以恢復到圖像的任意次置亂效果，恢復的效率大大提高了。