機器學習之降維方法

（3）問題

     之前我們討論的PCA、ICA也好，對樣本數據來言，可以是沒有類別標簽y的。回想我們做回歸時，如果特征太多，那么會產生不相關特征引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標簽考慮進去，屬於無監督的。

     比如回到上次提出的文檔中含有“learn”和“study”的問題，使用PCA后，也許可以將這兩個特征合並為一個，降了維度。但假設我們的類別標簽y是判斷這篇文章的topic是不是有關學習方面的。那么這兩個特征對y幾乎沒什么影響，完全可以去除。

     再舉一個例子，假設我們對一張100*100像素的圖片做人臉識別，每個像素是一個特征，那么會有10000個特征，而對應的類別標簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這么多特征不僅訓練復雜，而且不必要特征對結果會帶來不可預知的影響，但我們想得到降維后的一些最佳特征（與y關系最密切的），怎么辦呢？

（4）線性判別分析（二類情況）

     回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個n維特征的訓練樣例（i從1到m），每個對應一個類標簽。我們就是要學習出參數，使得（g是sigmoid函數）。

     現在只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。

     為了方便表示，我們先換符號重新定義問題，給定特征為d維的N個樣例，，其中有個樣例屬於類別，另外個樣例屬於類別。

     現在我們覺得原始特征數太多，想將d維特征降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數據上，也就是這一維就能決定每個樣例的類別。

     我們將這個最佳的向量稱為w（d維），那么樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來計算

    

     這里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點到原點的距離。

     當x是二維的，我們就是要找一條直線（方向為w）來做投影，然后尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖：

    

     從直觀上來看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點分離。

     接下來我們從定量的角度來找到這個最佳的w。

     首先我們尋找每類樣例的均值（中心點），這里i只有兩個

    

     由於x到w投影后的樣本點均值為

    

     由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。

     什么是最佳的直線（w）呢？我們首先發現，能夠使投影后的兩類樣本中心點盡量分離的直線是好的直線，定量表示就是：

    

     J(w)越大越好。

     但是只考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖

    

     樣本點均勻分布在橢圓里，投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w)，但是由於有重疊，x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差，方差越大，樣本點越難以分離。

     我們使用另外一個度量值，稱作散列值（scatter），對投影后的類求散列值，如下

    

     從公式中可以看出，只是少除以樣本數量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。

     而我們想要的投影后的樣本點的樣子是：不同類別的樣本點越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來度量，最終的度量公式是

    

     接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。

     先把散列值公式展開

    

     我們定義上式中中間那部分

    

     這個公式的樣子不就是少除以樣例數的協方差矩陣么，稱為散列矩陣（scatter matrices）

     我們繼續定義

    

     稱為Within-class scatter matrix。

     那么回到上面的公式，使用替換中間部分，得

    

    

     然后，我們展開分子

    

     稱為Between-class scatter，是兩個向量的外積，雖然是個矩陣，但秩為1。

     那么J(w)最終可以表示為

    

     在我們求導之前，需要對分母進行歸一化，因為不做歸一的話，w擴大任何倍，都成立，我們就無法確定w。因此我們打算令，那么加入拉格朗日乘子后，求導

    

     其中用到了矩陣微積分，求導時可以簡單地把當做看待。

     如果可逆，那么將求導后的結果兩邊都乘以，得

    

     這個可喜的結果就是w就是矩陣的特征向量了。

     這個公式稱為Fisher linear discrimination。

     等等，讓我們再觀察一下，發現前面的公式

    

     那么

    

     代入最后的特征值公式得

    

     由於對w擴大縮小任何倍不影響結果，因此可以約去兩邊的未知常數和，得到

    

     至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher於1936年提出的線性判別分析。

     看上面二維樣本的投影結果圖：

    

（5）線性判別分析（多類情況）

     前面是針對只有兩個類的情況，假設類別變成多個了，那么要怎么改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？

我們之前討論的是如何將d維降到一維，現在類別多了，一維可能已經不能滿足要求。假設我們有C個類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來做投影。

     將這K維向量表示為。

     我們將樣本點在這K維向量投影后結果表示為，有以下公式成立

    

    

     為了像上節一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內散列度來考慮。

     當樣本是二維時，我們從幾何意義上考慮：

    

     其中和與上節的意義一樣，是類別1里的樣本點相對於該類中心點的散列程度。變成類別1中心點相對於樣本中心點的協方差矩陣，即類1相對於的散列程度。

     為

    

     的計算公式不變，仍然類似於類內部樣本點的協方差矩陣

    

     需要變，原來度量的是兩個均值點的散列情況，現在度量的是每類均值點相對於樣本中心的散列情況。類似於將看作樣本點，是均值的協方差矩陣，如果某類里面的樣本點較多，那么其權重稍大，權重用Ni/N表示，但由於J(w)對倍數不敏感，因此使用Ni。

    

     其中

    

     是所有樣本的均值。

     上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下面我們看樣本點投影后的公式改變：

     這兩個是第i類樣本點在某基向量上投影后的均值計算公式。

    

    

     下面兩個是在某基向量上投影后的和

    

    

     其實就是將換成了。

     綜合各個投影向量（w）上的和，更新這兩個參數，得到

    

    

     W是基向量矩陣，是投影后的各個類內部的散列矩陣之和，是投影后各個類中心相對於全樣本中心投影的散列矩陣之和。

     回想我們上節的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個類自己的散列度。現在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對於全樣本中心的散列度之和。

     然而，最后的J(w)的形式是

    

     由於我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實數，需要取行列式。又因為行列式的值實際上是矩陣特征值的積，一個特征值可以表示在該特征向量上的發散程度。因此我們使用行列式來計算（此處我感覺有點牽強，道理不是那么有說服力）。

     整個問題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然后求導，得出最后結果（我翻查了很多講義和文章，沒有找到求導的過程）

    

     與上節得出的結論一樣

    

     最后還歸結到了求矩陣的特征值上來了。首先求出的特征值，然后取前K個特征向量組成W矩陣即可。

     注意：由於中的 秩為1，因此的秩至多為C（矩陣的秩小於等於各個相加矩陣的秩的和）。由於知道了前C-1個后，最后一個可以有前面的來線性表示，因此的秩至多為C-1。那么K最大為C-1，即特征向量最多有C-1個。特征值大的對應的特征向量分割性能最好。

     由於不一定是對稱陣，因此得到的K個特征向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。