“JavaScript中國象棋程序” 這一系列教程將帶你從頭使用JavaScript編寫一個中國象棋程序。這是教程的第5節。
上一節，我們深度優先遍歷了搜索樹，而沒有廣度優先遍歷。本節介紹的Alpha-Beta搜索，會有力提高搜索算法的效率，並體現出深度優先遍歷的優勢。Alpha-Beta搜索非常重要，是后面課程的基礎。本節課程可以分為以下3步學習：
（1）、學習負極大值搜索。這與上節課程是有關聯的，並不難懂。了解負極大值搜索，是為了更容易接受Alpha-Beta搜索。另外，在文件“search - 負極大值搜索.js”中，實現了負極大值搜索。
（2）、理解剪枝的原理，然后學習Alpha-Beta搜索。在文件“search - 一個簡單的Alpha-Beta搜索.js”中，實現了一個簡單的，不超出邊界的Alpha-Beta搜索。
（3）、學習在Alpha-Beta基礎上進行的一些優化，包括超出邊界的Alpha-Beta搜索、殺棋的分數、歷史表啟發。
5.1、負極大值搜索
前面介紹了極大點搜索和極小點搜索，兩種算法的大部分邏輯是一樣的。可以合並這兩種算法，合並后就是負極大值搜索算法，搜索樹如下：
紅色數字是當前節點的分值，藍色數字是父節點對子節點返回值取負后的值。
搜索進行到C1、C2、C3時，要做評估，得到的估值是8、10、15。由於此時輪到紅方走棋，表示紅方在三個局面分別有8、10、15的優勢。在極大極小搜索中，要在B1求這三個局面估值的最小值。現在我們可以這樣來看，黑方在C1、C2、C3的優勢分別為-8、-10、-15。黑方顯然在B1點需要對三個局面做一個選擇，選擇的目標當然是優勢最大化。可以這樣表示：
max(-8, -10, -15)
在極大極小搜索中，B1是黑方走棋，是極小點，應該求最小值。現在由於多加了一個負號，也變成求極大值了，B1點也成了極大點。
黑方在B1、B2、B3分別取得了-8、-5、-10的優勢，對於紅方來講，則在這三個點分別有8、5、10的優勢。所以在A點，輪到紅方走棋，它會在B1、B2、B3中選擇最大值，即：
max(8, 5, 10)
負極大值搜索偽代碼如下：
Search.prototype.negaMaxSearch = function(depth) {
如果depth等於0，調用評估函數並返回分值
var vlBest = 負無窮; // 初始最優值
var mvs = 當前局面全部走法; // 生成當前局面的所有走法
var value = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
執行招法mvs[i]
value = -this.negaMaxSearch(depth - 1); // 遞歸調用自身，注意有個負號
撤銷招法mvs[i]
if (value > vlBest) { // 尋找最大估值
vlBest = value;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根節點，需要記錄最佳走法
記錄根節點的最佳走法
}
}
}
return vlBest; // 返回當前節點的最優值
}
在極大極小算法中，葉子節點調用評估函數，始終返回紅方優勢。根節點如果紅方走棋，調用極大點算法；否則調用極小點算法。
在負極大值算法中，所有節點都是極大點。評估函數就不能總是返回紅方優勢了，應該返回葉子節點走棋方的優勢。另外，走棋方具有先走棋的權利，我們認為這是一種優勢。為體現這個優勢，局面得分加上ADVANCED_VALUE（也就是3）的分值。
評估函數應該修改為：
Position.prototype.evaluate = function() {
var vl = (this.sdPlayer == 0 ? this.vlWhite - this.vlBlack :
this.vlBlack - this.vlWhite) + ADVANCED_VALUE;
return vl;
}
5.2、淺的搜索剪枝
極大極小搜索以及負極大值搜索，都是對整個搜索樹進行完全搜索。實際上，有些沒用的分支是可以裁減掉的，這樣會大大縮短搜索時間。先來看一個極大極小搜索樹（使用負極大值搜索樹，道理是一樣的。不過極大極小搜索樹更直觀，更簡單一點。）：
當搜索到B2點時，紅方A點已經通過B1的搜索得到了一個當前最優值8，紅方希望通過B2這條路徑得到更好的值。當搜索到C4時得到一個估值7，也就是B2當前最優值。由於B2是極小點，在搜索B2剩余的子節點時，凡是估值超過7的B2都不會考慮，一旦有值小於7就會取代7成為新的最優值。也就是說，B2的值不超過7。那么對於A點來講，B2就沒有意義，繼續搜索B2的后續子節點也毫無意義。C5、C6不必搜索，而直接返回A點，繼續A點后續子節點的搜索。
C8、C9節點與B2節點類似，也可以進行剪枝。
以C9節點為例，當搜索到C9時，黑方B3點已經通過對C7、C8的搜索，得到了一個最優值10。當搜索到D5節點是，得到一個估值12。由於C9是極大點，因此C9的值不會低於12。對B3點來說，C9毫無意義，不用再搜索C9的后續節點。
我們再來看一下負極大值搜索樹：
紅色數字是當前節點的分值，藍色數字是父節點對子節點返回值取負后的值。
搜索進行到C1、C2、C3時，得到估值分別是8、10、15，也就是說紅方優勢分別是8、10、15。那么，這三點黑方優勢分別是-8、-10、-15。B1點要在C1、C2、C3點做出抉擇，自然會選擇黑方優勢最大的C1點，B1點估值-8。
在B1點，-8是黑方的優勢，那么-8也可以被認為是紅方的劣勢。紅方希望通過對B2的搜索，來減小這一劣勢（也就是得到-9、-10之類，小於-8的估值）。搜索完C4后，B2點得到了一個最優值-7。由於目前所有節點都是極大點，B2的估值不會小於-7。B2點增大了紅方得的劣勢，休想A點選擇B2這條路線，對B2剩余子節點的搜索也就毫無意義。
怎樣實現這一算法呢？我們再回到B2點。只要把A點已知的紅方劣勢，也就是-8，傳遞給B2點，就能實現這一裁剪。A點傳遞給B2點的這個參數，我們叫做Beta；這一搜索算法，我們叫做Beta搜索。偽代碼如下：
Search.prototype.betaSearch = function(depth, beta) {
如果depth等於0，調用評估函數並返回分值
var vlBest = 負無窮; // 初始最優值
var mvs = 當前局面全部走法; // 生成當前局面的所有走法
var value = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
執行招法mvs[i]
value = -this.betaSearch(depth - 1); // 遞歸調用自身，注意有個負號
撤銷招法mvs[i]
if(value > beta) { // 得到一個大於bate的值，終止對當前節點的搜索
return beta;
}
if (value > vlBest) { // 尋找最大估值
vlBest = value;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根節點，需要記錄最佳走法
記錄根節點的最佳走法
}
}
}
return vlBest; // 返回當前節點的最優值
}
5.3、深的搜索剪枝
我們來討論更復雜的可能裁剪的情況，
當搜索B2節點時，已知B1節點的估值是8。從B2點向下兩層，有個D1點。D1點搜索完E1點后，得到E1的估值為6。由於D1是極小點，D1的估值不大於6。如果從C5點返回6或者更小，那么我們就可以在B2上做裁剪，因為它有更好的兄弟節點 B1（這里的更好是對A點來說的）。因此，繼續搜索D1的后續節點毫無意義，E2不必搜索。
為了實現深的裁剪，除了傳遞參數Beta，我們還要傳遞一個參數Alpha，這就形成了Alpha-Beta搜索。
5.4、Alpha-Beta搜索
Alpha-Beta搜索與Beta搜索很相似，偽代碼如下：
Search.prototype.alphaBetaSearch = function(vlAlpha_, vlBeta, depth) {
如果depth等於0，調用評估函數並返回分值
var vlAlpha = vlAlpha_; // 初始最優值，不再是負無窮
var mvs = 當前局面全部走法; // 生成當前局面的所有走法
var vl = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
執行招法mvs[i]
vl = -this.alphaBetaSearch(-vlBeta, -vlAlpha, depth - 1); // 遞歸調用
撤銷招法mvs[i]
if(vl >= vlBeta) { // 得到一個大於或等於bate的值，終止對當前節點的搜索
return vlBeta;
}
if (vl > vlAlpha) { // 尋找最大估值
vlAlpha = vl;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根節點，需要記錄最佳走法
記錄最佳走法
}
}
}
return vlAlpha; // 返回當前節點的最優值
}
在根節點，Alpha取負無窮，Beta取正無窮。當函數遞歸時，Alpha和Beta不但取負數而且要交換位置。Alpha表示當前搜索節點走棋一方搜索到的最好值，任何比它小的值對當前節點走棋方都沒有意義。Beta表示對手目前的劣勢，這是對手所能承受的最壞結果。Beta值越大，表示對方劣勢越明顯；Beta值越小，表示對方劣勢也越小。在對手看來，他總是希望找到一個對策不比Beta更壞。如果當前節點返回Beta或比Beta更好的值，作為父節點的對方就絕不會選擇這種策略。
5.5、超出邊界Alpha-Beta搜索
圖A 超出邊界的Alpha-Beta搜索
圖B 不超出邊界的Alpha-Beta搜索
以上兩圖，分別描述了“超出邊界的Alpha-Beta搜索”和“不超出邊界的Alpha-Beta搜索”。
括號中的兩個值，是當前節點的初始alpha和beta。
從上面兩圖可以看出，B2點第1種走法得到value = -7，產生剪枝。B2點無論返回-7還是-8都不會影響A點的值。C8的所有走法得到的值均小於8，無論返回3還是8在父節點都會引起剪枝。
不管是哪種搜索方法，最終根節點的搜索結果是一樣的，搜索效率也一樣。不過，將來程序中會引入置換表（后面的課程會介紹這個概念），超出邊界的Alpha-Beta搜索查找置換表時命中率更高，更有優勢。因此，程序中直接使用了超出邊界的Alpha-Beta搜索。
5.6、殺棋的分數
考慮這樣一個搜索樹：
在根節點A點，紅方優勢明顯，即將取得勝利。而在D點和B2點，都是黑方被將死或者困斃的局面。如果D、B2兩節點的估值都是-MATE_VALUE（也就是-10000），那么A點沿這兩個搜索路徑得到的估值都是10000。當估值相同時，我們的程序一般采用前面的走法。但是對紅方來說，明顯第二個路徑更好，一步就能取得勝利。為解決這一問題，可以把輸棋的分值，與搜索層數結合起來：
輸棋分值 = -MATE_VALUE + 搜索層數
例如，A、B1、B2、C、D的搜索層數分別是0、1、1、2、3。D節點估值
-10000 + 3 = -9997
B2節點估值
-10000 + 1 = -9999
在我們的程序中，使用如下函數實現：
Position.prototype.mateValue = function() {
return this.distance - MATE_VALUE;
}
5.7、歷史表啟發（History Heuristic）
Alpha-Beta搜索嚴重依賴於着發的搜索順序。如果總是先去搜索最壞的着法，那么Beta截斷就不會發生，因此該算法就如同極大極小搜索一樣，效率非常低。如果程序總是能挑最好的着法來首先搜索，就能不斷發生Beta截斷，大大提高搜索效率。因此使用Alpha-Beta搜索時，着發順序至關重要。
國際象棋程序的經驗證明，歷史表是很好的走法排序依據。什么是歷史表呢？如果一個着法在不同層很多節點都被搜索過，並且是很好的走法，那么我們就將該走法存入歷史表，並對該走發賦一個值（當然，這個走法被搜索到的次數越多，賦的值就越大）。
什么樣的走法算是比較好的走法呢？我們的程序選擇了以下兩類走法：
1、產生Beta截斷的走法
2、不能產生Beta截斷，但它是所有PV走法(也就是Beta > vl > vlAlpha的走法)中最好的走法。
歷史表historyTable[]是一個大小為4096的數組，遇到一個比較好的走法mv時，給歷史表中的該走法增加一個value值：
historyTable[mv] = historyTable[mv] + value
對於value的取值，我們沿用國際的經驗——深度的平方。也就是說，
value = depth * depth
事實上，我們的程序並沒有按照慣例，使用mv作為歷史表的指標，並不存在historyTable[mv]這樣的寫法。我們使用“棋子類別 + 走法終點位置”作為歷史表的指標。我是這樣理解這一指標的：比如已知的幾個不錯的走法，都是將紅車移動到某一位置。如果遇到一個走法，也是將紅車移動到這一位置，那么我們猜測，這一走法也是個不錯的走法。
獲取歷史表指標的方法如下：
Position.prototype.historyIndex = function(mv) {
return ((this.squares[SRC(mv)] - 8) << 8) + DST(mv);
}
更新歷史表的方法如下：
Search.prototype.setBestMove = function(mv, depth) {
this.historyTable[this.pos.historyIndex(mv)] += depth * depth;
}
5.8、迭代加深
上一節的極大極小搜索，搜索深度固定為3。這一節使用了效率更高的Alpha-Beta搜索，完全可以增大搜索深度了。深度太淺，無法充分利用電腦性能；深度過深，又要等待很久的時間。那我們干脆不指定搜索深度了，而是指定搜索時間。設置搜索時間為100毫秒，從深度depth=1開始搜索。如果搜索完后還有時間，那就增加深度繼續搜索，偽代碼如下：
for (i = 1; i < 最大深度; i ++) {
alphaBetaSearch(負無窮, 正無窮, i); // 搜索深度為i
if (超過搜索時間) {
break;
}
}
迭代加深不僅充分利用了時間資源，還能充分發揮歷史表的作用——前一層搜索結束后，將在歷史表中積累大量數據，這將有效減少深一層搜索的時間。
5.9、核心代碼說明
本節的代碼可以在 Github 下載，也可以直接clone
git clone -b step-5 https://github.com/Royhoo/write-a-chinesechess-program
Search中新增或修改的主要屬性和方法：
（1）、historyTable[]
該數組是歷史表。
（2）、searchMain(depth, millis)
增加了迭代加深搜索。
（3）、alphaBetaSearch(vlAlpha_, vlBeta, depth)
實現了Alpha-Beta搜索，並且：
1、根據殺棋步數給出殺棋分數。
2、使用歷史表優化搜索效率。
在文件“search.js”中，新增了一個對象MoveSort，用於生成一個局面排序后的走法。