深度神經網絡（Deep Neural Networks， 以下簡稱DNN）是深度學習的基礎，而要理解DNN，首先我們要理解DNN模型，下面我們就對DNN的模型與前向傳播算法做一個總結。
1. 從感知機到神經網絡
在感知機原理小結中，我們介紹過感知機的模型，它是一個有若干輸入和一個輸出的模型，如下圖:
輸出和輸入之間學習到一個線性關系，得到中間輸出結果：$$z=\sum\limits_{i=1}^mw_ix_i + b$$
接着是一個神經元激活函數:
$$sign(z)=
\begin{cases}
-1& {z<0}\\
1& {z\geq 0}
\end{cases}$$
從而得到我們想要的輸出結果1或者-1。
這個模型只能用於二元分類，且無法學習比較復雜的非線性模型，因此在工業界無法使用。
而神經網絡則在感知機的模型上做了擴展，總結下主要有三點：
1）加入了隱藏層，隱藏層可以有多層，增強模型的表達能力，如下圖實例，當然增加了這么多隱藏層模型的復雜度也增加了好多。
2）輸出層的神經元也可以不止一個輸出，可以有多個輸出，這樣模型可以靈活的應用於分類回歸，以及其他的機器學習領域比如降維和聚類等。多個神經元輸出的輸出層對應的一個實例如下圖，輸出層現在有4個神經元了。
3） 對激活函數做擴展，感知機的激活函數是$sign(z)$,雖然簡單但是處理能力有限，因此神經網絡中一般使用的其他的激活函數，比如我們在邏輯回歸里面使用過的Sigmoid函數，即：$$f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
還有后來出現的tanx, softmax,和ReLU等。通過使用不同的激活函數，神經網絡的表達能力進一步增強。對於各種常用的激活函數，我們在后面再專門講。
2. DNN的基本結構
上一節我們了解了神經網絡基於感知機的擴展，而DNN可以理解為有很多隱藏層的神經網絡。這個很多其實也沒有什么度量標准, 多層神經網絡和深度神經網絡DNN其實也是指的一個東西，當然，DNN有時也叫做多層感知機（Multi-Layer perceptron,MLP）, 名字實在是多。后面我們講到的神經網絡都默認為DNN。
從DNN按不同層的位置划分，DNN內部的神經網絡層可以分為三類，輸入層，隱藏層和輸出層,如下圖示例，一般來說第一層是輸入層，最后一層是輸出層，而中間的層數都是隱藏層。
層與層之間是全連接的，也就是說，第i層的任意一個神經元一定與第i+1層的任意一個神經元相連。雖然DNN看起來很復雜，但是從小的局部模型來說，還是和感知機一樣，即一個線性關系$z=\sum\limits w_ix_i + b$加上一個激活函數$\sigma(z)$。
由於DNN層數多，則我們的線性關系系數$w$和偏倚$b$的數量也就是很多了。具體的參數在DNN是如何定義的呢？
首先我們來看看線性關系系數$w$的定義。以下圖一個三層的DNN為例，第二層的第4個神經元到第三層的第2個神經元的線性系數定義為$w_{24}^3$。上標3代表線性系數$w$所在的層數，而下標對應的是輸出的第三層索引2和輸入的第二層索引4。你也許會問，為什么不是$w_{42}^3$, 而是$w_{24}^3$呢？這主要是為了便於模型用於矩陣表示運算，如果是$w_{42}^3$而每次進行矩陣運算是$w^Tx+b$，需要進行轉置。將輸出的索引放在前面的話，則線性運算不用轉置,即直接為$wx+b$。總結下，第$l-1$層的第k個神經元到第$l$層的第j個神經元的線性系數定義為$w_{jk}^l$。注意，輸入層是沒有$w$參數的。
再來看看偏倚$b$的定義。還是以這個三層的DNN為例，第二層的第三個神經元對應的偏倚定義為$b_3^{2}$。其中，上標2代表所在的層數，下標3代表偏倚所在的神經元的索引。同樣的道理，第三個的第一個神經元的偏倚應該表示為$b_1^{3}$。同樣的，輸入層是沒有偏倚參數$b$的。
3. DNN前向傳播算法數學原理
在上一節，我們已經介紹了DNN各層線性關系系數$w$,偏倚$b$的定義。假設我們選擇的激活函數是$\sigma(z)$，隱藏層和輸出層的輸出值為$a$，則對於下圖的三層DNN,利用和感知機一樣的思路，我們可以利用上一層的輸出計算下一層的輸出，也就是所謂的DNN前向傳播算法。
對於第二層的的輸出$a_1^2,a_2^2,a_3^2$，我們有：$$a_1^2=\sigma(z_1^2) = \sigma(w_{11}^2x_1 + w_{12}^2x_2 + w_{13}^2x_3 + b_1^{2})$$$$a_2^2=\sigma(z_2^2) = \sigma(w_{21}^2x_1 + w_{22}^2x_2 + w_{23}^2x_3 + b_2^{2})$$$$a_3^2=\sigma(z_3^2) = \sigma(w_{31}^2x_1 + w_{32}^2x_2 + w_{33}^2x_3 + b_3^{2})$$
對於第三層的的輸出$a_1^3$，我們有：$$a_1^3=\sigma(z_1^3) = \sigma(w_{11}^3a_1^2 + w_{12}^3a_2^2 + w_{13}^3a_3^2 + b_1^{3})$$
將上面的例子一般化，假設第$l-1$層共有m個神經元，則對於第$l$層的第j個神經元的輸出$a_j^l$，我們有：$$a_j^l = \sigma(z_j^l) = \sigma(\sum\limits_{k=1}^mw_{jk}^la_k^{l-1} + b_j^l)$$
其中，如果$l=2$,則對於的$a_k^1$即為輸入層的$x_k$。
從上面可以看出，使用代數法一個個的表示輸出比較復雜，而如果使用矩陣法則比較的簡潔。假設第$l-1$層共有m個神經元，而第$l$層共有n個神經元，則第$l$層的線性系數$w$組成了一個$n \times m$的矩陣$W^l$, 第$l$層的偏倚$b$組成了一個$n \times 1$的向量$b^l$ , 第$l-1$層的的輸出$a$組成了一個$m \times 1$的向量$a^{l-1}$，第$l$層的的未激活前線性輸出$z$組成了一個$n \times 1$的向量$z^{l}$, 第$l$層的的輸出$a$組成了一個$n \times 1$的向量$a^{l}$。則用矩陣法表示，第l層的輸出為：$$a^l = \sigma(z^l) = \sigma(W^la^{l-1} + b^l)$$
這個表示方法簡潔漂亮，后面我們的討論都會基於上面的這個矩陣法表示來。
4. DNN前向傳播算法
有了上一節的數學推導，DNN的前向傳播算法也就不難了。所謂的DNN的前向傳播算法也就是利用我們的若干個權重系數矩陣$W$,偏倚向量$b$來和輸入值向量$x$進行一系列線性運算和激活運算，從輸入層開始，一層層的向后計算，一直到運算到輸出層，得到輸出結果為值。
輸入: 總層數L，所有隱藏層和輸出層對應的矩陣$W$,偏倚向量$b$，輸入值向量$x$
輸出：輸出層的輸出$a^L$
1） 初始化$a^1 = x $
2) for $l = 2$ to $L$, 計算：$$a^l = \sigma(z^l) = \sigma(W^la^{l-1} + b^l)$$
最后的結果即為輸出$a^L$。
5. DNN前向傳播算法小結
單獨看DNN前向傳播算法，似乎沒有什么大用處，而且這一大堆的矩陣$W$,偏倚向量$b$對應的參數怎么獲得呢？怎么得到最優的矩陣$W$,偏倚向量$b$呢？這個我們在講DNN的反向傳播算法時再講。而理解反向傳播算法的前提就是理解DNN的模型與前向傳播算法。這也是我們這一篇先講的原因。
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參考資料：
1） Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen
2） Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville