先解釋一下公式中的幾個量
變量t只是表示這些都是時域函數而已(r,dr只是中間變量，積分結果還是關於t的函數)
U(t)表示當前控制器的輸出量
e(t)表示當前控制器的輸入量（一般為設定量與當前量的差值delta=Uset-Unow）
PID，其實對應的是三個量
Proportion（比例），記量Kp
Integration（積分），計量Ki
Differential（微分），記量Kd
那么如何理解這個公式呢？
首先假設對於一個需要調節的系統來說，為了方便說明，我們以熱水器為例，我們當前的目標是將水溫從80度升至90度並穩定
1.Kp是最基礎的比例系數，讓溫度差成比例放大為電熱絲的發熱量是一個很顯然的思路，越接近目標越要慢慢來嘛
2.Ki是對應積分的系數，引入這個量是為了解決系統存在靜差的問題，比如當升至89度時，實際上電熱絲的發熱量已經很少了，可能剛好只能抵消水的散熱量，如果我們什么都不做，水溫將穩定在89度，這仍與我們想要的穩態有差異。
所以我們引入一個時間的積分，來讓電熱絲發熱量在一段時間以后增加，使水溫繼續上升
3.Kd是對應微分的系數，引入這個量是為了防止系統出現超調現象，比如水溫明明已經達到了90度，但電熱絲溫度還很高，所以水溫還會繼續上升。正確的做法是在接近90度時進一步減少發熱量，用電熱絲的余溫讓水溫達到90度
這個公式的實現是有兩種形式的：位置式和增量式
首先說明一下，在實際應用中，時間只能細分到有限的單位監測時間T，因此我們把第k次檢測當做時間
位置式
位置式是遵從原公式的，因此不難由原公式得到
但注意此處的Ki' , Kd' 不是原來的Ki , Kd了
Ki'=Ki*T （粗略的定積分）
Kd'=Kd/T （粗略的微分）
但是觀察一下位置式所需要的量，我們發現積分處的求和所需要的運算量也忒大了，有沒有方法簡化？引入增量式
增量式
只是用位置式相鄰兩項作差，卻相當於把一個O(N)級別的求和問題變成了一個簡單的二階遞推，棒棒噠
這利用了我們需要對每一個時刻的U(k)進行求解的特性，之前的結果是可以利用的，因此沒有必要重復求和
整理一下二階遞推
遞推式
To be continue...
待加入，三個量的整定