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1 問題描述
最近兩天在思考如何使用蠻力法解決旅行商問題（此問題，說白了就是如何求解n個不同字母的所有不同排序的序列問題，即共有n!次不同排序）。
為此，我認真看了一篇出自CSDN上的博客文章，其中有一段核心代碼就是在for循環里面添加一句遞歸調用語句，來實現n!次排序。因此，我對文章中的那段核心代碼苦苦不得其解——其執行順序究竟是咋樣的呢？
附其簡要代碼：
public int count = 0;
public void Arrange(int[] A,int start,int step,int n,int Max){ if(step == 2) System.out.println("第"+(++count)+"次走完一圈"); if(count == Max) System.out.println("已完成！！！"); else{ for(int i = start;i < n;i++){ swapArray(A,start,i); Arrange(A,start+1,step+1,n,Max); swapArray(A,i,start); } } }
2 解決方案
2.1 問題化簡
剛開始學習遞歸時，課本上都會給出使用遞歸實現斐波那契數問題（PS：f(1) = 1,f(2) = 1,f(3) = 2,f(4) = 3,...,f(n) = f(n-1) + f(n-2),求解f(n)），那我們就先來探討使用遞歸法求解第n個斐波那契數的具體執行順序：
先上代碼：
package com.liuzhen.chapterThree; public class Test { public int Fibonacci(int n){ System.out.println("第"+n+"次遞歸,結果："); if(n == 1 || n == 2) return 1; System.out.println("********"); return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2); } public static void main(String[] args){ Test temp = new Test(); System.out.println("運行結果："+temp.Fibonacci(4)); } }
運行結果：
第4次遞歸,結果： ******** 第3次遞歸,結果： ******** 第2次遞歸,結果： 第1次遞歸,結果： 第2次遞歸,結果： 第4次遞歸,結果： ******** 第3次遞歸,結果： ******** 第2次遞歸,結果： 第1次遞歸,結果： 第2次遞歸,結果： 運行結果：3
此處是求解第4個斐波那契數,看到運行結果依次輸出數字4，3，2，1，2，4，3，2，1，2。可以看到，輸出的數字按照第一遍輸出的樣式重復輸出了一次。
此處遞歸語句：return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
為此先按照語句分析如下：（PS：經網上相關資料提示：遞歸算法的本質是先遞歸后回溯，從而求得最終結果。以下只是本人根據程序運行結果做出的推測分析，如有錯誤，歡迎各位圓友指正~）
（1）Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2),此時會首先輸出數字4；
（2）接着執行Fibonacci(3) = Fibonacci(2) + Fibonacci(1)，此時會首先輸出數字3；
（3）接着執行（2）中Fibonacci（2），遞歸結束，此時會首先輸出數字2；
（4）接着執行（2）中Fibonacci（1），遞歸結束，此時會首先輸出數字1；
（5）接着執行（1）中Fibonacci（2），遞歸結束，此時會首先輸出數字2；
（6）上面（1）~（5）步中僅僅只完成了遞歸算法，並未完成求取Fibonacci（4）的具體值步驟，此時，正式開始回溯求取Fibonacci（4），即Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2)，此時輸出數字4；
（7）回溯求取（6）中Fibonacci(3)= Fibonacci(2) + Fibonacci(1)，此時輸出數字3；
（8）回溯求取（7）中Fibonacci(2)值，其在（3）中已獲得為1，此時輸出數字2；
（9）回溯求取（7）中Fibonacci(1)值，其在（4）中已獲得為1，此時輸出數字1，此時求得（6）中Fibonacci(3) = 2；
（10）回溯求取（6）中Fibonacci(2)值，其在（5）中已獲得為1，此時輸出數字2，此時求得6）中Fibonacci(2) = 1；
（11）輸出最終結果Fibonacci(4) = 2+1 =3。
上述執行步驟求取Fibonacci(4)簡單示意圖：
2.2 定位輸出測試
由2.1中對於斐波那契數問題的執行順序探討讓我明白了一條遞歸的實質——先遞歸后回溯。在本文的問題中，還要謹記一點——遞歸的執行順序遵循棧的特性——先進后出。
先看本文所述問題具體測試代碼：
package com.liuzhen.chapterThree; public class TravelingSalesman { public int count = 0; /* * start為開始進行排序的位置 * step為當前正在排序的位置 * n為需要排序的總位置數 * Max為n!值 */ public void Arrange(int[] A,int start,int step,int n,int Max){ if(step == 2) System.out.println("第"+(++count)+"次走完一圈"); if(count == Max) System.out.println("已完成！！！"); else{ System.out.println("准備進入for循環"); for(int i = start;i < n;i++){ swapArray(A,start,i); System.out.println("遞歸調用前："+" start值為"+start+"，i的值為"+i); Arrange(A,start+1,step+1,n,Max); System.out.println("遞歸調用后："+" start值為"+start+"，i的值為"+i); swapArray(A,i,start); } } } public void swapArray(int[] A,int p,int q){ int temp = A[p]; A[p] = A[q]; A[q] = temp; } public static void main(String[] args){ int[] A = {0,1}; TravelingSalesman test = new TravelingSalesman(); test.Arrange(A,0,0,2,2); } }
運行結果：
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為0，i的值為0
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為1，i的值為1
第1次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為1，i的值為1
遞歸調用后： start值為0，i的值為0
遞歸調用前： start值為0，i的值為1
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為1，i的值為1
第2次走完一圈
已完成！！！
遞歸調用后： start值為1，i的值為1
遞歸調用后： start值為0，i的值為1
此處是求取數字0和1的不同排序，即有2！= 2種不同排序，此處依照代碼及運行結果來分析其具體執行順序：
（1）
准備進入for循環：
遞歸調用前： start值為0，i的值為0（程序初始化值start為0，i等於start值為0）
（2）
准備進入for循環：
遞歸調用前： start值為1，i的值為1（執行完一次遞歸后，start值變為1，i等於start值也為1）
（3）
第1次走完一圈（輸出此句，表示已經執行完兩次遞歸，start值變為了2）
准備進入for循環：（此時，start值為2，即准備開始回溯，執行未完成的for循環）
遞歸調用后： start值為1，i的值為1（此處，對照棧的特性，開始進行（2）中未完成的for循環，輸出此句后，將結束（2）中的for循環）
遞歸調用后： start值為0，i的值為0（此處，對照棧的特性，開始進行（1）中未完成的for循環，i值將要加1）
遞歸調用前： start值為0，i的值為1（此處，進行了（1）中一次for循環后，就要開始執行一次遞歸語句，start值將要加1）
（4）
准備進入for循環：
遞歸調用前： start值為1，i的值為1（此處，是執行（3）中遞歸語句的執行輸出結果，此時也要開始執行一次遞歸語句，start值將要加1）
（5）
第2次走完一圈（此時，start值有變成了2）
已完成！！！
遞歸調用后： start值為1，i的值為1（此處，執行步驟（4）中未完成for循環的回溯，進行for循環）
遞歸調用后： start值為0，i的值為1（此處，執行步驟（3）中未完成for循環的回溯，進行for循環）
上述是對2！次不同排序的遞歸執行順序分析，下面我們可以來看看對於3！次不同排序的遞歸執行順序結果，看看其執行順序是否滿足棧——先進后出的特性，
PS：此處對上述代碼中定義數字進行稍微修改，修改如下：
if(step == 3) System.out.println("第"+(++count)+"次走完一圈"); public static void main(String[] args){ int[] A = {0,1,2}; TravelingSalesman test = new TravelingSalesman(); test.Arrange(A,0,0,3,6); }
具體運行結果：
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為0，i的值為0
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為1，i的值為1
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第1次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為1
遞歸調用前： start值為1，i的值為2（此處即將執行一次遞歸）
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第2次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為2
遞歸調用后： start值為0，i的值為0
遞歸調用前： start值為0，i的值為1
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為1，i的值為1
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第3次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為1
遞歸調用前： start值為1，i的值為2
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第4次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為2
遞歸調用后： start值為0，i的值為1
遞歸調用前： start值為0，i的值為2
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為1，i的值為1
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第5次走完一圈
准備進入for循環
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為1
遞歸調用前： start值為1，i的值為2
准備進入for循環
遞歸調用前： start值為2，i的值為2
第6次走完一圈
已完成！！！
遞歸調用后： start值為2，i的值為2
遞歸調用后： start值為1，i的值為2
遞歸調用后： start值為0，i的值為2
可以看出，運行結果明顯滿足上述中2！次運行結果的分析及推測結論。
2.3 回顧總結
通過以上的分析及上機輸出測試，可以初步得出遞歸算法執行順序滿足如下兩點：
（1）先執行遞歸，后進行回溯；
（2）執行順序滿足棧的特性——先進后出。