【數字拆解】

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數字拆解

說明：
這個題目來自於 數字拆解，我們將之改為C語言的版本，並加上說明。
題目是這樣的：
3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 所以有三種拆法
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五種
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 共七種
依此類推，請問一個指定數字NUM的拆解方法個數有多少個？
 
解法： 
我們以上列中最后一個數字五的拆解為例，假設f(n)為數字n的可拆解方式個數，而f(x, y)為使用y以下的數字來拆解x的方法個數
，則觀察：
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

使用函數式來表示的話：
f(5) = f(4, 1) + f(3, 2) + f(2, 3) + f(1, 4) + f(0, 5)

其中f(1, 4) =  f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1), 但是使用大於1的數字來拆解1沒有意義，所以f(1, 4) = f(1, 1), 而同樣的，
f(0, 5) 會等於f(0，0)，所以：
f(5) = f(4, 1) + f(3, 2) + f(2, 3) + f(1, 1) + f(0, 0)

依照以上的說明， 使用動態程式規划（Dynamic programming）倆進行求解，其中f(4, 1)其實就是f(5 - 1, min(5 - 1, 1)),
f(x, y)就等於f(n - y, min(n - x, y)), 其中n為要拆解的數字， 而min()表示取兩者中較小的數。

使用一個二維陣列表格table[x][y]來表示f(x, y)，剛開始時， 將每列的索引0與索引1元素值設定為1，因為任何數字以0以下的數
拆解必只有1種，而任何數以1以下的數拆解也必只有1種：

for(i = 0; i < NUM + 1; i++)
{
    table[i][0] = 1;
    table[i][1] = 1;
}

接下來就開始一個一個進行拆解了，如果數字為NUM，則我們的陣列維度大小必須為NUM * (NUM / 2 + 1)， 以數字10為例，其維
為 10 * 6 我們的表格將會如下所示：
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 2 0 0 0
1 1 2 3 0 0
1 1 3 4 5 0
1 1 3 5 6 7
1 1 4 7 9 0
1 1 4 8 0 0 
1 1 5 0 0 0
1 1 0 0 0 0 
*/ 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define NUM 10        //要拆解的數字 
#define DEBUG 0

int main(void)
{
    int table[NUM][NUM / 2 + 1];        //動態規划表格 
    int count = 0;
    int result = 0; 
    int i, j, k;
    
    printf("數字拆解\n");
    printf("3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 所以有三種拆法\n");
    printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1");
    printf("共五種\n");
    printf("以此類推，求 %d 有幾種拆法 ? ", NUM);
    
    
    for(i = 0; i < NUM; i++)        //初始化 
    {
        table[i][0] = 1;
        table[i][1] = 1;
    }
    
    for(i = 2; i <= NUM; i++)        //動態規划 
    {
        for(j = 2; j <= i; j++)
        {
            if(i + j > NUM)
            {
                continue; 
            } 
            count = 0; 
            for(k = 1; k <= j; k++)
            {
                count += table[i - k][(i - k >= k) ? k : i - k];
            }
            table[i][j] = count;
        }
    }
    
    for(k = 1; k <= NUM; k++)        //計算並顯示結果 
    {
        result += table[NUM - k][(NUM - k >= k) ? k : NUM - k];
    }
    printf("\n\nresult: %d\n", result);
    
    if(DEBUG)
    {
        printf("\n除錯資訊\n");
        for(i = 0; i < NUM; i++)
        {
            for(j = 0 ; j < NUM / 2 + 1; j++)
            {
                printf("%2d", table[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    
    return 0;    
} 

 

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