【完美數 】

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完美數 

說明：
如果有一數n ，其真因數 （Proper factor ） 的總和等於n ， 則稱之為完美數（Perfect Number ），例如以下幾個數都是完美數：
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 +  14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
程式基本上不難，第一眼看到時會想到使用回圈求出所有真因數，再進一步求因數和，不過若n值很大，則此法會花費許多時間在回圈測試上，十分
沒有效率，例如求小於10000的所有完美數 。

解法：
如何求小於10000的所有完美數？並將程式寫的有效率？基本上有三個步驟：
1.求出一定數目的質數表
2.利用質數表求指定數的因式分解
3.利用因式分解求所有真因數和，並檢查是否為完美數

步驟一 與 步驟二 在之前討論過了，問題在步驟三，如何求真因數和？方法很簡單，要先知道將所有真因數和加上該數本身，會等於該數的兩倍，
例如：
2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28
等式后面可以化為：
2 * 28 = (2^0 + 2^1 + 2^2) * (7^0 + 7^1 )
所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，將該值除以2就是真因數和了；等式后面第一眼看時可能想到使用等比級數公式來解,不
過會使用到次方運算，可以在回圈走訪因式分解陣列時，同時計算出等式后面的值，這在下面的實作中可以看到


*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 1000
#define P 10000

int prime(int*); // 求質數表
int factor(int*, int, int*); // 求factor
int fsum(int*, int); // sum ot proper factor

int main(void) {
    int ptable[N+1] = {0}; // 儲存質數表
    int fact[N+1] = {0}; // 儲存因式分解結果
    int count1, count2, i;
    
    count1 = prime(ptable);
    
    for(i = 0; i <= P; i++) {
        count2 = factor(ptable, i, fact);
        if(i == fsum(fact, count2))
            printf("Perfect Number: %d\n", i);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

int prime(int* pNum) {
    int i, j;
    int prime[N+1];
    for(i = 2; i <= N; i++)
        prime[i] = 1;
    for(i = 2; i*i <= N; i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N; j++) {
                if(j % i == 0)
                    prime[j] = 0;
            }
        }
    }
    for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {
        if(prime[i] == 1)
            pNum[j++] = i;
    }
    return j;
}

int factor(int* table, int num, int* frecord) {
    int i, k;
    for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {
        if(num % table[i] == 0) {
            frecord[k] = table[i];
            k++;
            num /= table[i];
        }
        else
            i++;
    }
    frecord[k] = num;
    return k+1;
}

int fsum(int* farr, int c) {
    int i, r, s, q;
    i = 0;
    r = 1;
    s = 1;
    q = 1;
    while(i < c) {
        do {
            r *= farr[i];
            q += r;
            i++;
        } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);
        s *= q;
        r = 1;
        q = 1;
    }
    return s / 2;
}

 

結果：

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謝謝@小時候嘚小時候提醒，4，1，0確實不是完美數，程序應該存在bug，