第六章 近似算法
一. 近似算法的基本概念
首先什么是NP-完全問題(這部分參考博文：http://blog.csdn.net/xueyong4712816/article/details/6509592)：NP=Non-deterministic Polynomial，也就是多項式復雜程度的非確定性問題。要了解NP問題，先從P問題開始，P就是Polynomial（多項式）的意思。P類問題就是所有復雜度為多項式時間的問題的集合。多項式就是n^k+n^(k-1)+……等等其中k為任意整數（一般不會很大）。這個數看起來很大，其實人類計算機相對都能接受。就怕遇到指數方增長的問題。
接下來探討非確定性問題。什么是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題通常有個算法，它不能直接告訴你答案是什么，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。
完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣算法的復雜程度，是指數關系，因此計算的時間隨問題的復雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。
了解了上述的概念之后，我們便可以理解ppt中的第二點：求解NP-完全問題很難，若輸入規模小倒是可以窮舉，否則用多項式算法近似，這也是本章的主題。
怎么理解那個Ratio Bound呢？第一點明白OPT是最優解，我們的近似解不可能優於它，所以對於最大化問題，A一定比OPT小而對於最小化問題A一定比OPT大，所以上面的連個max取了不同的值。注意這里的Ratio Bound指的是那個B(n),即是max{A/OPT, OPT/A}的上界。
結論：只要求出了Ratio Bound，就求出了相對誤差。
二. 一些經典問題
1. 頂點覆蓋問題
問題：給定一個N個點M條邊的無向圖G（點的編號從1至N），問是否存在一個不超過K個點的集合S，使得G中的每條邊都至少有一個點在集合S中。簡而言之就是在一無向圖中找一個點集，滿足：最小點集&&圖中的每條邊至少有一個點在這個點集中。這里一開始疑惑為什么頂點覆蓋問題是NP-完全問題。。。 ，百度了下之后發現。。。。我了個擦。。。 Np問題這么難，等我把我那本算法導論NP完全性啃完再來分析下這里，現在的重點在近似算法上。
