學習筆記（信號與系統）
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第一章 信號和系統
信號的概念、描述和分類
信號的基本運算
典型信號
系統的概念和分類
1、常常把來自外界的各種報道統稱為消息；
信息是消息中有意義的內容；
信號是反映信息的各種物理量，是系統直接進行加工、變換以實現通信的對象。
信號是信息的表現形式，信息是信號的具體內容；信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。
2、系統(system)：是指若干相互關聯的事物組合而成具有特定功能的整體。
3、信號的描述——數學描述，波形描述。
信號的分類：
1）確定信號（規則信號）和隨機信號
確定信號或規則信號 ——可以用確定時間函數表示的信號；隨機信號——若信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統計特性。
2）連續信號和離散信號
連續時間信號——在連續的時間范圍內(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續時間信號，簡稱連續信號，實際中也常稱為模擬信號；離散時間信號——僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號，實際中也常稱為數字信號。
3）周期信號和非周期信號
周期信號——是指一個每隔一定時間T，按相同規律重復變化的信號；非周期信號——不具有周期性的信號稱為非周期信號。
4）能量信號與功率信號
能量信號——信號總能量為有限值而信號平均功率為零；功率信號——平均功率為有限值而信號總能量為無限大。
5）一維信號與多維信號
信號可以表示為一個或多個變量的函數，稱為一維或多維函數。
6）因果信號
若當t<0時f(t)=0,當t>0時f(t)≠0的信號,稱為因果信號；非因果信號指的是在時間零點之前有非零值。
4、信號的基本運算：
信號的＋、－、×運算:兩信號f1(·)和f2(·)的相＋、－、×指同一時刻兩信號之值對應相加減乘。
平移:將f(t)→f(t + t0)稱為對信號f(·)的平移或移位,若t0< 0，則將f(·)右移,否則左移。
反轉: 將f(t)→f(–t)或f(k)→f(–k)稱為對信號f(·)的反轉或反折，從圖形上看是將f (·)以縱坐標為軸反轉180°。
尺度變換（橫坐標展縮）：將f(t)→f(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則f(at)將f(t)的波形沿時間軸壓縮至原來的1/a；若0<a<1，則f(at)將f(t)的波形沿時間軸擴展為原來的a倍。
微分：信號f(t)的微分運算指f(t)對t取導數，即：
信號經過微分運算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用。
積分：信號f(t)的積分運算指f(t)在（-∞，t）區間內的定積分，表達式為：
信號經過積分運算后，使得信號突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用，利用積分可以削弱信號中噪聲的影響。
5、典型的連續時間信號
1）實指數信號：
（對時間的微、積分仍是指數。）
a>0時，信號將隨時間而增長；a<0時，信號將隨時間而衰減；a=0時，信號不隨時間而變化，為直流信號。
τ是指數信號的時間常數，τ越大，指數信號增長或衰減的速率越慢。
2）正弦信號：
對時間的微、積分仍是同頻率正弦。
3）復指數信號：
（
）
實際不存在，但可以用於描述各種信號。
σ>0時，增幅振盪正、余弦信號；σ<0時，衰減振盪正、余弦信號；σ=0時等振幅振盪正、余弦信號；ω=0時，實指數信號；σ=0且ω=0時，直流信號。
4）抽樣信號：
Sa(t)具有以下性質：
，
；Sa（0）=1，Sa（t）=0（t=±π，±2π，…）。
5）鍾形信號：
6、單位階躍函數和單位沖激函數
1）單位階躍函數：
可以方便地表示某些信號，用階躍函數表示信號的作用區間，積分計算；
單位沖激函數為偶函數：
；
加權特性：
抽樣特性：
，
；
尺度變換：
，
，
，
；
導數（沖激偶）：
，
沖激偶的抽樣特性：
，
，
沖激偶的加權特性:
，
。
2）單位沖激函數：
單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。
3）沖激函數與階躍函數關系:
階躍函數序列與沖激函數序列。
7、信號的分解
直流分量fD與交流分量fA(t):
，其中fD為直流分量即信號的平均值。
偶分量與奇分量：
，其中fe=
為偶分量，fo=
為奇分量。
脈沖分量
一種分解為矩形窄脈沖分量：
，
另一分解為階躍信號分量之疊加。
實部分量與虛部分量：
對於瞬時值為復數的信號f(t)可分解為實、虛部兩個部分之和。
正交函數分量：
，用正交函數集來表示一個信號，組成信號的各分量就是相互正交的。
8、系統：若干相互作用、相互聯系的事物按一定規律組成具有特定功能的整體稱為系統。
9、系統的分類及性質
連續系統與離散系統：輸入和輸出均為連續時間信號的系統稱為連續時間系統；輸入和輸出均為離散時間信號的系統稱為離散時間系統。
連續時間系統的數學模型是用微分方程來描述，而離散時間系統的數學模型是用差分方程來描述。
動態系統與即時系統：若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態系統或記憶系統；含有記憶元件(電容、電感等)的系統是動態系統，否則稱即時系統或無記憶系統。
線性系統與非線性系統：能同時滿足齊次性與疊加性的系統稱為線性系統。滿足疊加性是線性系統的必要條件；不能同時滿足齊次性與疊加性的系統稱為非線性系統。
時不變系統與時變系統：滿足時不變性質的系統稱為時不變系統。
時不變性質:若系統滿足輸入延遲多少時間，其激勵引起的響應也延遲多少時間。
因果系統與非因果系統：激勵引起的響應不會出現在激勵之前的系統，稱為因果系統；也就是說，如果響應r(t)並不依賴於將來的激勵[如e(t+1)]，那么系統就是因果的。
穩定系統與不穩定系統：一個系統，若對有界的激勵f(.)所產生的響應y=f(.)也是有界時，則稱該系統為有界輸入有界輸出穩定，簡稱穩定；即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞，則稱系統是穩定的。
線性時不變系統：LTI連續系統的微分特性和積分特性
線性性質包括兩方面：齊次性和可加性，若系統既是齊次的又是可加的，則稱該系統是線性的，即T[a f1(·) + bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)]。
當動態系統滿足下列三個條件時該系統為線性系統：可分解性+零狀態線性+零輸入線性。
10、描述連續動態系統的數學模型是微分方程，描述離散動態系統的數學模型是差分方程。
解析描述-系統模擬框圖描述。
11、系統分析研究的主要問題：
對給定的具體系統，求出它對給定激勵的響應；也可以說，系統分析就是建立表征系統的數學方程並求出解答。
采用的數學工具：卷積積分與卷積和，傅里葉變換，拉普拉斯變換，Z變換。
第二章 連續系統的時域分析
微分方程的經典解法
0+和0-初始值
零輸入響應與零狀態響應
沖激響應和階躍響應
卷積積分
1、微分方程的一般形式：
微分方程的經典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齊次解) + yp(t)(特解）
齊次解是齊次微分方程
的解，yh(t)的函數形式由上述微分方程的特征根確定，而特解的函數形式與激勵函數的形式有關。
齊次解的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵f(t)數形式無關，稱為系統的固有響應或自由響應；特解的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應。
2、全響應＝齊次解(自由響應)＋特解(強迫響應)。
齊次解：寫出特征方程，求出特征根（自然頻率或固有頻率）；根據特征根的特點，齊次解有不同的形式；一般形式（無重根）：
特解：根據輸入信號的形式有對應特解的形式，用待定系數法確定；在輸入信號為直流和正弦信號時，特解就是穩態解。
用初始值確定積分常數，一般情況下，n階方程有n個常數，可用n個初始值確定。
3、0-狀態稱為零輸入時的初始狀態，即初始值是由系統的儲能產生的；
0+狀態稱為加入輸入后的初始狀態，即初始值不僅有系統的儲能，還受激勵的影響。
從0-狀態到0+狀態的躍變：當系統已經用微分方程表示時，系統的初始值從0-狀態到0+狀態有沒有跳變決定於微分方程右端自由項是否包含δ(t)及其各階導數；如果包含有δ(t)及其各階導數，說明相應的0-狀態到0+狀態發生了跳變。
0+狀態的確定：已知0-狀態求0+狀態的值，可用沖激函數匹配法；求0+狀態的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。
4、各種響應用初始值確定積分常數：
在經典法求全響應的積分常數時，用的是0+狀態初始值；
在求系統零輸入響應時，用的是0-狀態初始值；
在求系統零狀態響應時，用的是0+狀態初始值，這時的零狀態是指0-狀態為零。
5、沖激函數匹配法：
目的：用來求解初始值，求（0＋）和（0-）時刻值的關系；
應用條件：如果微分方程右邊包含δ（t）及其各階導數，那么（0＋）時刻的值不一定等於（0-）時刻的值；
原理：利用t＝0時刻方程兩邊的δ（t）及各階導數應該平衡的原理來求解（0＋）。
6、零輸入響應：沒有外加激勵信號的作用，只有起始狀態所產生的響應；
零狀態響應：不考慮起始時刻系統儲能的作用，由系統外加激勵信號所產生的響應；
LTI的全響應：y(t) = yx(t) + yf(t)。
1）零輸入響應，即求解對應齊次微分方程的解：
當特征方程的根(特征根)為n個單根(不論實根、虛根、復數根)λ1，λ2， …，λn時，則yx(t)的通解表達式為：
當特征方程的根(特征根)為n個重根(不論實根、虛根、復數根) λ1=λ2=…=λn時，yx(t)的通解表達式為:
步驟總結：
求系統的特征根，寫出yx(t)的通解表達式；
由於激勵為零，所以零輸入的初始值：
，確定積分常數C1、C2、…、Cn；
將確定出的積分常數C1、C2、…、Cn代入通解表達式，即得yx(t)。
2）零狀態響應，即求解對應非齊次微分方程的解：
基本步驟：
求系統的特征根，寫出的通解表達式yfh(t)；
根據f(t)的形式，確定特解形式，代入方程解得特解yfp(t)；
求全解，若方程右邊有沖激函數（及其各階導數）時，根據沖激函數匹配法求得
，確定積分常數C1、C2、…、Cn；
將確定出的積分常數C1、C2、…、Cn代入全解表達式，即得。
幾種典型自由項函數相應的特解：
7、系統響應划分：
自由響應（Natural）＋強迫響應（forced）；
暫態響應（Transient）+穩態響應（Steady-state）；
零輸入響應（Zero-input）＋零狀態響應（Zero-state）。
零輸入響應是自由響應的一部分，零狀態響應有自由響應的一部分和強迫響應構成 。
8、沖激響應：系統在單位沖激信號δ(t)作用下產生的零狀態響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。
階躍響應：系統在單位階躍信號u（t）作用下的零狀態響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用g(t)表示。
階躍響應與沖激響應的關系：線性時不變系統滿足微、積分特性
、
。階躍響應是沖擊響應的積分，注意積分限
，對於因果系統為
。
9、任意信號的分解：
任意信號作用下的零狀態響應：
卷積定義：已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分：
（
）
於是，任意信號的零狀態響應即為：
卷積的計算步驟可分解為四步：
1）換元：t換為τ→得f1(τ)、f2(τ)；
2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)；
3）乘積：f1(τ)*f2(t-τ)；
4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。
10、卷積的性質
交換律：ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ2(t)*ƒ1(t)；
分配律：ƒ1(t)*[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)*ƒ2(t)+ƒ1(t)*ƒ3(t)；
結合律：[ƒ1(t)*ƒ2(t)]*ƒ3(t)=ƒ1(t)*[ƒ2(t)*ƒ3(t)]；
微分性質：
；
積分性質：
；
微積分性質：
；
應用微積分性質的條件是
必須成立，即必須有
。
f(t)與沖激函數的卷積：ƒ(t)*δ(t)=f(t)；
ƒ(t)*δ(t-t0)=ƒ(t-t0)；
ƒ(t-t1)*δ(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)；
δ(t-t1)*δ(t-t2)=δ(t-t1-t2)。
f(t)與沖激偶函數的卷積：ƒ(t)*δ'(t)=f'(t)*δ(t)=ƒ'(t)；
ƒ(t)*δ''(t)=ƒ"(t)。
f(t)與階躍函數的卷積：
；
。
時移性質：若ƒ1(t)*ƒ2(t)=ƒ(t)，則有ƒ1(t-t1)*ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)。
利用卷積積分的性質來計算卷積積分，可使卷積積分的計算大大簡化。
第三章 頻域分析
第一節 引言
1、從本章開始由時域轉入變換域分析。
首先討論傅里葉變換，傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析），將信號進行正交分解，即分解為三角函數或復指數函數的組合。
頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系。
2、已知一些基本信號，將任意一個信號e(t)（或者我們需要研究的信號）用一個基本信號的線性組合來表示（信號分解）。
如果已知基本信號通過LTI系統的響應r(t)，那么任意信號通過系統的響應就可以用r(t)的線性組合來表示。
3、由系統的組成來說：當輸入為指數信號時，系統的輸出一定也是一個指數信號，只不過指數信號幅值發生變化。
指數信號通過LTI系統的輸出，利用卷積法（輸入為
）：
設
，則
。
4、設激勵信號為sin(ω0t),系統的頻率響應為
，則系統的穩態響應為：
正弦信號為sin(ω0t)作為激勵的穩態響應為與激勵同頻率的信號，幅度H(jω0)由加權，相移φ（ω0），H(jω)代表了系統對信號的處理效果。
5、三角變換
第二節 周期信號傅里葉級數分析
三角函數形式的傅氏級數
指數函數形式的傅氏級數
兩種傅氏級數的關系
頻譜圖
函數的對稱性與傅里葉級數的關系
周期信號的功率
傅里葉有限級數與最小方均誤差
1、{ cos(nω1t),sin(nω1t) }是一個完備的正交函數集，t在一個周期內，n=1,2,3，…，∞。
由積分可知：
2、傅里葉級數的三角展開式：
其中：
分析
，
。
3、可畫出頻譜圖：
cn～ω關系曲線稱為幅度頻譜圖；
φn～ω關系曲線稱為相位頻譜圖。
4、指數函數形式的傅里葉級數：
復指數正交函數集：{ ejnω1t }，n=±1，±2，…。
級數形式：
。
系數：
。
周期信號可分解為（-∞，∞）區間的指數信號ejnω1t的線性組合。
5、兩種系數之間的關系：
幅頻特性：
；
相頻特性：
。
其中an、φ（nω1）為關於ω的偶函數；bn、F（nω1）為關於ω的奇函數。
6、周期信號的傅里葉級數有兩種形式：三角形式和指數形式；
三角函數形式的頻譜圖為單邊頻譜，指數形式的頻譜圖為雙邊頻譜；
三個性質：收斂性、諧波性、唯一性；
引入負頻率：函數分解為虛指數，必須有共軛對，才能保證原實函數的性質不變。
7、偶函數的傅里葉形式：
傅里葉級數中不含正弦項，只含直流項和余弦項，F（nω1）為實函數。
奇函數的傅里葉形式：
奇函數中的傅里葉函數中無余弦分量，F（nω1）為虛函數。
奇諧函數的傅里葉形式：
奇諧函數傅里葉級數的偶次諧波為零。
偶諧函數的傅里葉形式：
偶諧函數傅里葉形式的奇次諧波為零。
8、能量信號：一個信號如果能量有限，稱之為能量信號；
功率信號：如果一個信號功率是有限的，稱之為功率信號。
連續信號能量：
；離散信號能量：
。
物理可實現的信號常常是時間t (或n)的實函數(或序列)，其在各時刻的函數(或序列)值為實數，稱它們為實信號；
函數（或序列）值為復數的信號稱為復信號。
周期信號平均功率 = 直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時域和頻域的能量是守恆的，總平均功率 = 各次諧波的平均功率之和。
|Fn|2～ω繪成的線狀圖形，表示各次諧波的平均功率隨頻率的分布情況，稱為功率譜系數。
9、傅里葉有限級數與最小方均誤差：
設有限級數傅里葉級數為
，用
來逼近，那么誤差函數為
，方均誤差為
。
如果完全逼近，則項數n=∞。
10、對於周期信號f(t)=f(t+nT) ，當其滿足狄氏條件時，可展成：
基本信號
。
可見，ejωt通過線性系統后響應隨時間變化服從e-jωt ， H(jω)相當加權函數。
H(jω)為h(t)的傅立葉變換，也稱為系統頻率特性或系統函數。
第三節 典型周期信號的傅里葉級數
頻譜的特點
頻譜結構
頻帶寬度
能量分布
1、本節以周期矩形脈沖信號為例進行分析，其脈沖寬度為τ，脈沖高度為E，周期為T1。
1）包絡線形狀為抽樣函數；
2）其最大值在n=0處，為Eτ/T1；
3）離散譜（諧波性）；
4）第一個零點坐標為2π/τ；
5）F（nω1）是復函數。
2、
。
矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性、諧波性、收斂性。
第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）；由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。
周期矩形脈沖信號的功率
。
3、在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。
對於一般周期信號，將幅度下降為
的頻率區間定義為頻帶寬度。
第四節 傅里葉變換
傅里葉變換
傅里葉變換的表示
傅里葉變換的物理意義
傅里葉變換存在的條件
1、傅里葉變換對
：
由f（t）求F（ω）稱為傅里葉變換：
F（ω）一般為復信號可表示為：
，其中幅度頻譜
、相位頻譜
。
由F（ω）求f（t）稱為傅里葉反變換：
2、傅里葉變換可表示為不同的形式：
實部為偶函數
，虛部為奇函數
；摸為偶函數
，相位為奇函數
。
其意義為無窮多個頻域范圍為0→∞、振幅為無窮小
的連續三角函數之和；或者無窮多個頻域范圍為-∞→+∞、振幅為無窮小
的連續指數函數之和。
3、傅里葉變換存在的條件：
，即f（t）絕對可積。
第五節 典型非周期信號的傅里葉變換
矩形脈沖
單邊指數信號
直流信號
符號函數
升余弦脈沖信號
1、矩形脈沖信號
幅度頻譜
，相位頻譜
。
2、單邊指數信號
幅度頻譜
，相位頻譜
。
3、直流信號
（
）
時域無限寬，頻帶無限窄（
）：
4、抽樣信號（
）
5、符號函數（
）
幅度頻譜為
，相位頻譜為
。
6、升余弦脈沖信號（
）
其幅度頻譜為
，其頻譜比矩形脈沖更集中。
第六節 沖激函數和階躍函數的傅里葉變換
沖激函數
沖激偶
單位階躍函數
-
沖激函數
2、沖激偶的傅里葉變換
3、單位階躍函數（
）
第七節 傅里葉變換的基本性質
對稱性質
線性性質
奇偶虛實性
尺度變換性質
時移特性
頻移特性
微分性質
時域積分性質
1、傅里葉變換具有惟一性，傅氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間確定的內在聯系。
2、對稱性質
，
。
，
，
。
3、線性性質
、
，
（c1、c2為常數）。
4、奇偶虛實性
，
，即
，
。
5、尺度變換性質
，則
（a為非零常數）。
0<a<1時域擴展，頻帶壓縮，幅度上升a倍；a>1時域壓縮，頻域擴展a倍，幅度降低a倍。
此例說明：信號的持續時間與信號占有頻帶成反比。
有時為加速信號的傳遞，要將信號持續時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。
6、時移特性
，
。
幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜。
時移加尺度變換
，
。
7、頻移特性
若
，則
、
。
，
。
8、微分性質
時域微分性質：若
，則
；
頻域微分性質：若
，則
。
如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里葉變換，余下部分再用微分性質。
9、時域積分性質
若
，則
，
，也可以記作
。
10、一個未經調制的高頻正弦信號為：
載波振幅隨調制信號的變化規律而變稱為調幅；載波頻率隨調制信號的變化規律而變稱為調頻；載波相位隨調制信號的變化規律而變稱為調相。
第八節 卷積特性（卷積定理）
卷積定理
卷積定理的應用
1、時域卷積定理：若
、
，則
。
時域卷積對應頻域頻譜密度函數乘積。
頻域卷積定理：若
、
，則
。
頻譜函數的卷積對應相應時間函數乘積的2π倍。
2、沖激偶
沖激偶的性質：
1）篩選性
，對δ（t）的k階導數
。
2）時移
。
3）奇函數
、
。
4）沖激偶的面積為零
。
5）
。
3、能量為有限值的信號稱能量信號；平均功率為有限值的信號稱功率信號。
信號f（t）的能量定義為：ΔE=
；
信號f（t）的平均功率定義為：ΔP=
。
4、Parseval定理：周期信號的功率等於該信號在完備正交函數集中各分量功率之和。
Parseval定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等於在頻域中求得的信號能量。
5、能量信號的能量密度頻譜函數G（ω）：
為能量密度頻譜，表示在ω處的單位頻帶中的信號能量。
非周期信號可分為無限多個振幅為無限小的頻率分量，各頻率分量的能量也是無窮小量；為了表示信號的頻譜特征，可以借助能量密度的概念；能譜G（ω）～ω表示信號的能量密度在頻域中隨頻率的變化情況。
6、連續時間系統的頻域分析：LTI系統的全響應＝零輸入響應＋零狀態響應。
時域分析法：
；
頻域分析法：
，即
。
其中
稱為系統函數。頻域分析是變換域分析法的一種，另外還有復頻域分析法、Z域分析法等。
第九節 周期信號的傅里葉變換
正弦信號的傅里葉變換
一般周期信號的傅里葉變換
如何由F0(ω)求F(nω1)
單位沖激序列的傅氏變換
周期矩形脈沖序列的傅氏變換
1、周期信號：
；
非周期信號：
。
2、正弦信號的傅里葉變換
由歐拉公式
，已知
，由頻移性質得：
3、一般周期信號的傅里葉變換
周期信號的F（ω）只存在於ω=nω1處，頻率范圍無限小，幅度為∞。
可由F0（ω）求周期函數fT（t）的譜系數F（nω1），即單個脈沖的F0（ω）與周期信號fT（t）的譜系數F（nω1）：
4、周期單位沖激序列的傅里葉變換
，因為δT（t）的傅氏級數譜系數是
。
δT（t）的頻譜密度函數仍是沖激序列，強度和間隔都是ω1。
5、周期矩形脈沖序列的傅氏變換
第十節 抽樣信號的傅里葉變換
抽樣
理想抽樣
矩形脈沖抽樣
抽樣定理
1、理想抽樣（周期單位沖激抽樣）
2、矩形脈沖抽樣
3、抽樣定理：在一個頻帶限制在（0，fh）內的時間連續信號f（t），如果以小於等於1/(2fh)的時間間隔對它進行抽樣，那么根據這些抽樣值就能完全恢復原信號。
或者說，如果一個連續信號f（t）的頻譜中最高頻率不超過fh，這種信號必定是個周期性的信號，當抽樣頻率f S≥2fh時，抽樣后的信號就包含原連續信號的全部信息，而不會有信息丟失，當需要時，可以根據這些抽樣信號的樣本來還原原來的連續信號。
4、重建原信號的必要條件：
；不滿足此條件，就會發生頻譜混疊現象，即抽樣頻率fs≥2fm是必要條件，或抽樣間隔Ts≤1/2fm。
Ts=1/2fm是最大抽樣間隔，稱為"奈奎斯特抽樣間隔"；fs=2fm是最低允許抽樣頻率，稱為"奈奎斯特抽樣頻率"。
5、狄利克雷（Dirichlet）條件：
1）在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個；
2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；
3）在一周期內，信號絕對可積。
6、系統的響應波形與激勵波形不相同，稱信號在傳輸過程中產生了失真。
幅度失真：系統對信號中各頻率分量的幅度產生不同程度的衰減，引起幅度失真。
相位失真：系統對各頻率分量產生的相移不與頻率成正比，造成各頻率分量在時間軸上的相對位置變化，引起相位失真。
7、理想低通濾波器的頻域特性：
ωc為截止頻率(Cut off frequency)。
第四章 拉普拉斯變換、連續時間系統的 s 域分析
引言
拉普拉斯變換的定義、收斂域
拉氏變換的基本性質
拉普拉斯逆變換
系統函數H(s)
頻率響應特性
濾波特性的分類
線性系統的穩定性
拉氏變換與傅里葉變換的關系
1、拉氏變換是求解常系數線性微分方程的工具，優點如下：
1）求解步驟得到簡化,可以把初始條件包含到變換式里，直接求得全響應；
2）拉氏變換分別將時域的"微分"與"積分"運算轉換為s域的"乘法"和"除法"運算，也即把微積分方程轉化為代數方；
3）將指數函數、超越函數等復雜函數轉化為簡單的初等函數；
4）將時域中的卷積運算轉化為s域中的乘法運算，由此建立起系統函數H(s)的概念；
5）利用系統函數零、極點分布可以簡明、直觀地表達系統性能的許多規律。
2、當f（t）滿足絕對可積條件時，存在傅里葉變換：
由於絕對可積條件限制了某些增長信號傅里葉變換的存在，考慮在f（t）上乘以收斂因子
，
，若f1（t）絕對可積，則存在傅里葉變換：
（
）
單邊拉氏變換：
。
雙邊拉氏變換：
。雙邊拉氏變換的收斂域有兩個邊界，一個是由t＞0的函數決定的左邊界σ1，另一個是由t＜0的函數決定的右邊界σ2；若σ1＜σ2，則雙邊拉氏變換存在，收斂域為σ1＜σ＜σ2，若σ1＞σ2，則雙邊拉氏變換不存在。
3、f（t）為原函數，F（s）為象函數。
拉氏逆變換：
。
算子符號法：
，
，
。
4、要使f（t）的拉氏變換存在，必須有
。若存在σ0，使得σ＞σ0時，
成立，則s平面上σ＞σ0的區域稱為F(s)的收斂域。
1）對僅在有限時間范圍內取非零值的能量有限信號，
，收斂域為整個s平面；
2）對幅度既不增長也不衰減而等於穩定值的信號，
，收斂域為s右半平面；
3）隨時間t成正比增長或隨tn成正比增長的信號，
，收斂域為s右半平面；
4）按指數階規律eαt增長的信號，
，收斂域為σ＞α；
5）對於一些比指數函數增長更快的函數，不能進行拉氏變換。
5、常用函數的拉氏變換：
拉氏變換的基本性質：
1）線性性質
若
、
，則
。
2）時域微分特性
若
，則
、
。
3）時域積分特性
若
，則
。
4）延時特性（時域平移）
若
，則
。
5）s域平移
若
，則
。
6）尺度變換
若
，則
（a＞0）。
7）初值定理
當F(s)為真分式時，
；
否則，
（分別為多項式與真分式），
。
8）終值定理
當F(s) 的全部極點在s左半平面（允許在s=0處有一階極點，以保證終值存在）時，
。
9）卷積定理
若
、
，則
（時域卷積定理）、
（s域卷積定理）。
10）s域微分與積分
若
，則
、
。
6、拉普拉斯逆變換：部分分式展開法（僅適用於F(s)為有理分式情況）、圍線積分法（留數法）。
部分分式法的實質是利用拉氏變換的線性特性， 先將F(s)分解為若干簡單函數之和， 再分別對這些簡單象函數求原函數。
p1、p2、…、pn稱為F(s)的極點；分子多項式也可以表示為A(s)=(s-z1)(s-z2)…(s-zm)，式中z1,z2,…,zm是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點。
p1,p2,…,pn既可以是各不相同的單極點，也可能出現有相同的極點即有重極點；分母多項式的階次一般高於分子多項式(m<n)，但也有可能m≥n。
7、設描述LTI系統的n階微分方程為：
若系統的起始狀態為零，則
，對上式兩邊同時取拉氏變換，得
，有：
系統函數
為系統零狀態響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比。
當
時，
，
。
H(p)是一個算子，H(s)是變量s的函數；H(s)只描述系統的零狀態特性，而H(p)既描述零狀態特性，又描述零輸入特性。
集總參數LTI系統的H(s)為有理分式：
z1、z2、…、zm稱為H(s)的"零點"；p1、p2、…、pn稱為H(s)的"極點"。
8、系統函數
，激勵
，響應
。
響應
（系統函數極點）
（激勵信號極點）；
（自由響應）
（強迫響應）。
9、頻率響應特性：是指穩定系統在正弦信號激勵下，穩態響應隨信號頻率的變化情況。
幅頻響應特性：幅度隨頻率的變化情況；相頻響應特性：相位隨頻率的變化情況。
，其中
為幅頻響應特性，
為相頻響應特性。
10、濾波特性的分類：
主要是通帶與阻帶的不同。
11、全通網絡：幅頻特性
，對於全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數通過。
極點位於左半平面，零點位於右半平面，且零、極點對於jω軸互為鏡像。
全通網絡用於相位校正。
最小相移網絡：極點全部在左半平面，零點也全部在左半平面或jω軸上的網絡，稱為最小相移網絡；含有零點在右半平面的網絡稱為非最小相移網絡。
非最小相移網絡可代之以最小相移網絡與全通網絡的級聯。
12、若系統對任意的有界輸入，其零狀態響應也是有界的，則稱此系統為（BIBO）穩定系統。
即對所有的
，產生的響應
，Me、Mr為有界正值。
連續時間LTI系統BIBO穩定的充分必要條件是：
H(s) 的收斂域包含虛軸；連續時間因果LTI系統BIBO穩定的充分必要條件是：
H(s) 的極點全部在左半平面。
由H(s)的極點分布判斷因果LTI系統的穩定性：
1）極點全部在左半平面，h（t）衰減，系統穩定；
2）虛軸上有一階極點，其他極點全部在左半平面，h（t）等幅振盪，系統臨界穩定；
3）有極點在右半平面，或虛軸上有二階或二階以上極點，h（t）增長，系統不穩定。
13、拉氏變換與傅里葉變換的關系：
當σ0＞0時，f（t）是增長函數，不存在傅里葉變換；
當σ0＜0時，f（t）是衰減函數，存在傅里葉變換，
；
當σ0=0時，f（t）為等幅或增幅振盪，存在傅里葉變換（包含奇異函數項），
。
第五章 傅里葉變換應用於通信系統
無失真傳輸
理想低通濾波器
調制與解調
1、幅度失真：系統對信號中各頻率分量幅度產生不同程度的衰減，使響應各頻率分量的相對幅度產生變化。
相位失真：系統對信號中各頻率分量產生相移不與頻率成正比，使響應各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化。
線性系統：幅度失真與相位失真都不產生新的頻率分量。
非線性系統：由於非線性特性對所傳輸信號產生非線性失真，非線性失真可能產生新的頻率分量。
2、信號的失真有正反兩方面：
1）如果有意識地利用系統進行波形變換，則要求信號經系統必然產生失真；
2）如果要進行原信號的傳輸，則要求傳輸過程中信號失真最小，即要研究無失真傳輸的條件。
無失真傳輸概念（即時域波形傳輸不變）：
。
信號無失真傳輸的條件（對系統提出的要求）：
1）（頻域角度）系統的頻率振幅響應特性是常數K，相位特性是通過原點的直線（群延時
，相位要求即是群延時特性為常數），即
；
2）（時域角度）要求系統的沖激響應仍為沖激函數，即
。
3、理想低通濾波器：具有矩形幅度特性和線性相移特性（實際不可實現）。
頻域特性：若ωc為截止頻率，則低於ωc的所有信號無失真傳送，高於ωc的所有信號完全衰減；相移特性也滿足無任何失真傳輸要求。
理想低通濾波器 輸入信號波形 輸出信號波形
如果具有躍變不連續點的信號通過低通濾波器傳輸，則不連續點在輸出將被圓滑，產生漸變；因為信號隨時間信號的急劇改變，意味着包含許多高頻分量，而較平坦的信號則主要包含低頻分量，低通濾波器濾掉了一些高頻分量。
通過階躍函數的響應可以證明：上升時間和濾波器截止頻率成反比，截止頻率越低，在輸出端信號上升越緩慢；響應由最小升至最大值所需時間tr=2π/ωc=1/B，即上升時間與系統的介質頻率或帶寬成反比。
濾波器階躍響應上升時間與帶寬不能同時減少，對不同的濾波器二者之乘積取不同的常數值，且它具有下限，即為"測不准原理"。
4、調制作用的實質：把各種信號的頻譜搬移，使它們互不重疊地占據不同的頻率范圍。
幅度調制是用調制信號去控制高頻載波的振幅，使其按調制信號的規律而變化的過程。 一般模型如圖所示。
調幅(AM)的時域和頻域表示式分別為：
AM信號的總功率包括載波功率和邊帶功率兩部分，只有邊帶功率才與調制信號有關，因此，從功率上講，AM信號的功率利用率比較低。
抑制載波雙邊帶調制（DSB-SC）：雙邊帶信號（DSB），其時域和頻域表示式分別為：
單邊帶調制(SSB)。
殘留邊帶調制(VSB)：在VSB中，不是完全抑制一個邊帶（如同SSB中那樣），而是逐漸切割，使其殘留一小部分。
包絡檢波：由非線性器件和低通濾波器兩部分組成。
同步檢波：接收端與發射端具有相同頻率的本地載波。
5、使高頻載波的頻率或相位按調制信號的規律變化而振幅保持恆定的調制方式，稱為頻率調制（FM）和相位調制(PM)， 分別簡稱為調頻和調相。
頻率或相位的變化都可以看成是載波角度的變化，故調頻和調相又統稱為角度調制。
相位調制：是指瞬時相位偏移隨調制信號m(t)而線性變化，即φ（t）=Kpm（t），其中Kp是常數。於是，調相信號可表示為sPM（t）=Acos[ωct+Kpm（t）]。
頻率調制，是指瞬時頻率偏移隨調制信號m(t)而線性變化，即
，其中Kf是一個常數，相位偏移
，可得調頻信號為sFM（t）
。
FM和PM非常相似， 如果預先不知道調制信號m(t)的具體形式，則無法判斷已調信號是調相信號還是調頻信號。
如果將調制信號先微分，而后進行調頻，則得到的是調相波，這種方式叫間接調相；如果將調制信號先積分，而后進行調相， 則得到的是調頻波，這種方式叫間接調頻。
6、FM抗噪聲性能最好，DSB、SSB、VSB抗噪聲性能次之，AM抗噪聲性能最差。
AM調制的優點是接收設備簡單，缺點是功率利用率低，抗干擾能力差；AM制式用於通信質量要求不高的場合，目前主要用在中波和短波的調幅廣播中。
DSB調制的優點是功率利用率高，但帶寬與AM相同， 接收要求同步解調，設備較復雜；只用於點對點的專用通信，運用不太廣泛。
SSB調制優點是功率和頻帶利用率都較高，抗干擾和抗選擇性衰落能力均優於AM, 而帶寬只有AM的一半；缺點是發送和接收設備都復雜。SSB制式普遍用在頻帶比較擁擠的場合，如短波波段的無線電廣播和頻分多路復用系統中。
VSB調制的部分抑制了發送邊帶，VSB的性能與SSB相當，VSB解調原則上也需同步解調，但在某些VSB系統中，附加一個足夠大的載波，就可用包絡檢波法解調合成信號。它綜合了AM、 SSB和DSB三者的優點，使VSB對商用電視廣播系統特別具有吸引力。
FM波的幅度恆定不變，帶來了抗快衰落能力，利用自動增益控制和帶通限幅還消除快衰落造成的幅度變化效應。窄帶FM對微波中繼系統頗具吸引力； 寬帶FM的抗干擾能力強，可實現帶寬與信噪比的互換。寬帶FM廣泛應用於長距離高質量的通信系統中，如空間和衛星通信、調頻立體聲廣播、 超短波電台等。寬帶FM的缺點是頻帶利用率低，存在門限效應，因此在接收信號弱，干擾大的情況下宜采用窄帶FM。
7、脈沖編碼調制傳輸方式：
發送端主要由抽樣、量化、編碼三部分組成。
PAM信號時具有離散時間連續幅度（階梯信號）的信號（
）；其中量化與編碼共同完成模擬-數字轉換（A/D）功能（
），PCM信號是具有二進制的數字信號。
量化是把一個連續幅度值的信號變成一個離散幅度值的信號。
編碼是把一個離散幅度值的信號變成二進制的數字信號。
8、PCM通信系統的特點：
1）在遠距離通信中數字信號經多級中繼器轉發之后不會積累噪聲，除非噪音大到足以影響中繼器的判斷。
2）當組合多種信號源（語音、圖像、數據信號）傳輸時具有很好的靈活性，
。
3）在模擬信號的量化與重建的過程中產生量化噪音，可通過合理設計A/D和D/A進行限制。
4）傳輸時占用頻帶相對明顯加寬。
8、將若干路信號以某種方式匯合，統一在同一信道中傳輸稱為多路復用。
頻分復用原理：在發送端將各路信號頻譜搬移到各不相同的頻率范圍，使它們互不重疊，這樣就可復用同一信道傳輸；在接收端利用若干濾波器將各路信號分離，再經解調即可還原為各路原始信號。
時分復用的理論依據：抽樣定理，-fm至+fm的信號，可由間隔為1/2fm的抽樣值惟一確定，從這些瞬時抽樣值可以正確恢復原始的連續信號。
信道僅在抽樣瞬間被占用，其余的空閑時間可供傳送第二路、第三路、……等各路抽樣信號使用；在接收端，這些抽樣值由適當的同步檢測器分離；將各路信號的抽樣值有序地排列就可實現時分復用。
碼分復用是指利用一組正交碼序列來區分各路信號，它們占用的頻帶和時間都可以重疊。碼分復用的典型應用是移動通信中的碼分多址通信（CDMA）。
第六章 離散信號與系統時域分析
離散信號
離散系統時域分析經典法
離散系統的單位序列響應
卷積和
1、如果信號僅在一些離散的瞬間具有確定的數值，則稱之為離散時間信號。
一般用f(kT)表示，其中k=0、±1、±2、…，T為離散間隔。也把這種按一定規則有秩序排列的一系列數值稱為序列，簡記為f(k)，常用序列{f(k)}表示。
同時也可以用數據表格形式給出，或以圖形方式表示。
2、離散時間信號的時域運算：
1）相加f(k)=f1(k)+f2(k)；
2）相乘f(k)=f1(k)f2(k)；
3）數乘f(k)=af(k)；
4）累加和
；
5）移位
；
6）折疊
；
7）倒相
；
8）展縮
。
需要注意的是，對f(k)進行展縮變換后所得序列y(k)可能會出現k為非整數情況，在此情況下舍去這些非整數的k及其值。
還應指出，對於離散信號壓縮后再展寬不能恢復原序列了。
9）差分
f(k)的后向差分記為
、
；
f(k)的前向差分記為
、
。
3、常用的離散時間信號
1）單位序列
。
性質：
、
、
。
2）單位階躍序列
。
單位階躍序列和單位序列的關系：
、
。
3）單位矩形序列(門序列) 
。
4）單邊實指數序列
。
5）正弦序列
。
若離散信號f(k)滿足
，則f(k)為周期離散時間信號。
4、當系統T{af(k)}=aT{f(k)}則稱系統滿足齊次性。
當系統T{f1（k）+f2（k）}=T{f1（k）}+T{f2（k）}，則稱系統滿足疊加性。
當系統同時滿足齊次性和疊加性時，則稱該系統滿足線性。
若離散時間系統的響應可分解為零輸入響應和零狀態響應(可分解性)； 且零輸入響應和零狀態響應分別滿足齊次性和疊加性(零輸入線性、零狀態線性)，則稱該系統為線性離散時間系統。
時變與時不變離散時間系統：若
，則
，稱為時不變系統，否則稱為時變系統。
因果離散時間系統：如果系統響應總是出現在激勵施加之后，則該系統稱為因果系統，否則稱之為非因果系統。
離散時間系統的基本運算單元：延時器、加法器、數乘器。
離散時間系統的模擬（模擬框圖）。
5、差分方程時域經典求解
若
，則
稱之為其對應的齊次差分方程。
對於該n階其次差分方程，其對應的特征方程為
。
1）若n個特征根互補相同，則其次差分方程解的形式為
；
2）若λ是特征方程的r重根，即有λ1=λ2=……=λr，而其余n-r各根均為單根，則其次差分方程解的形式為
。
非齊次差分方程的特解形式
6、離散時間系統的響應的分解方式：零輸入響應和零狀態響應，自由響應和強迫響應，暫態響應和穩態響應。
7、對於線性時不變離散時間系統，若激勵為單位序列δ(k)時，其系統的零狀態響應h(k)稱為單位序列響應。
1）迭代法是一種遞推法，通過不斷迭代求得單位序列響應。
2）等效初值法，當k＞0時，系統等效為一個零輸入系統，求系統單位序列響應轉化為求系統等效零輸入響應。
8、離散系統的時域分解
。
設兩個離散時間信號為f1(k)和f2(k)，定義f1(k)與f2(k)的卷積和運算為
。
卷積和的性質：
1）交換律：
；
2）結合律：
；
3）分配律：
；
4）移位性質：若
，則
；
5）其他性質：若
，則
；
6）
。
9、卷積和
的圖解法計算四步驟：
反褶、平移、相乘、求和。
10、對於線性時不變離散時間系統，若激勵為單位序列，單位序列響應為h（k）,則激勵與系統零狀態響應之間有如下關系：
第七章 離散信號與系統
連續時間信號與系統
離散時間信號——序列
離散時間系統的數學模型——差分方程
常系數線性差分方程的求解
離散時間系統的單位樣值（單位沖激）響應
卷積（卷積和）
解卷積（反卷積）
1、連續時間信號：f(t)是連續變化的t的函數，除若干不連續點之外對於任意時間值都可以給出確定的函數值，函數的波形都是具有平滑曲線的形狀，一般也稱模擬信號。
連續時間系統：系統的輸入、輸出都是連續的時間信號。
離散時間信號：時間變量是離散的，函數只在某些規定的時刻有確定的值，在其他時間沒有定義。
離散時間系統：系統的輸入、輸出都是離散的時間信號。
采樣過程就是對模擬信號的時間取離散的量化值過程，得到離散信號；幅值只能分級變化。數字信號就是離散信號在各離散點的幅值被量化的信號。
2、系統分析
連續時間系統——微分方程描述：
離散時間系統——差分方程描述：
3、序列的三種形式：單邊序列、雙邊序列、有限長序列。
離散信號的運算：
1）相加：z(n)=x(n)+y(n)；
2）相乘：z(n)=x(n)·y(n)；
3）乘系數：z(n)=ax(n)；
4）移位：（右移位）z(n)= x（n-m），（左移位）z(n)=x（n+m）；
5）倒置：z(n)=x(-n)；
6）差分：（前向差分）Δx(n)= x(n+1)- x(n)，（后向差分）
；
7）累加：
；
8）重排（壓縮、擴展）：
或
；
9）序列的能量：
。
4、常用離散信號
1）單位樣值信號
。
時移性
；比例性
；抽樣性
。
注意：δ(t)用面積（強度）表示，t→0，幅度→∞；δ（n）在n=0取有限值，不是面積。
利用單位樣值信號表示任意序列：
。
2）單位階躍序列
。
u(n)可以看作是無數個單位樣值之和: 
，而
，δ(n)與u(n)是差和關系，不再是微商關系。
3）矩形序列
。
它與u（n）的關系：
。
4）斜變序列
。
5）單邊指數序列
。
6）正弦序列
；余弦序列
。
ω0——正弦序列的頻率，序列值依次周期性重復的速率。
數字頻率ω0可以連續變化，但只能在(-π，π)范圍內取值。
7）復指數序列
。
復序列用極坐標表示為
。
5、由微分方程導出差分方程。
差分方程的特點：
1）輸出序列的第n個值不僅決定於同一瞬間的輸入樣值，而且還與前面輸出值有關，每個輸出值必須依次保留；
2）差分方程中變量的最高和最低序號差數為階數。
如果一個系統的第n個輸出決定於剛過去的幾個輸出值及輸入值，那么描述它的差分方程就是幾階的。
3）微分方程可以用差分方程來逼近，微分方程解是精確解，差分方程解是近似解，兩者有許多類似之處。
4）差分方程描述離散時間系統，輸入序列與輸出序列間的運算關系與系統框圖有對應關系，應該會寫會畫。
6、常系數線性差分方程的求解：
1）迭代法；
2）時域經典法：齊次解+特解；
3）零輸入響應+零狀態響應（利用卷積求系統的零狀態響應）；
4）z變換法→反變換→y(n)。
求差分方程齊次解步驟：差分方程→特征方程→特征根→y(n)的解析式→由起始狀態定常數。
7、單位樣值響應：即δ(n)作用下，系統的零狀態響應，表示為 h(n)。
因果系統：輸出變化不領先於輸入變化的系統。
對於線性時不變系統是因果系統的充要條件：
。
穩定性的充要條件：
。
單位樣值響應絕對和為有限值（絕對可和）收斂。
8、任意序列x(n)表示為δ(n)的加權移位之線性組合:
系統對x(n)的響應=每一樣值產生的響應之和，在各x(m)處由加權。
卷積和的公式表明：h(n)將輸入輸出聯系起來，即零狀態響應= x(n)* h(n)。
離散卷積的性質：
1）交換律：
；
2）結合律：
；
3）分配律：
；
4）x(n)*δ(n) 不存在微分、積分性質。
9、卷積計算：
。
離散卷積過程：序列倒置→移位→相乘→取和。
1）解析式法；
2）圖解法；
3）對位相乘求和法求卷積；
4）利用性質。
10、反卷積：在
式中，已知y(n)、h(n)，求x(n)的過程。
第八章 狀態變量法
基本概念與定義
連續時間系統狀態方程的建立與求解
1、研究系統的輸入與輸出的關系，通稱為端口法。
對於動態系統，在任意時刻，都能與激勵一起確定系統全部響應的一組獨立完備的變量，稱為系統的狀態變量。
狀態變量在某一時刻t0的值，稱為系統在t0時刻的狀態。
狀態變量在t=0-時刻的值稱為系統的初始狀態或起始狀態，X(0-)也稱為初始狀態向量或起始狀態向量。
從已知的激勵與初始狀態，求狀態向量的一階向量微分方程，稱為狀態方程。
2、一階向量微分方程的形式: 
（A常稱為系統矩陣，B常稱為控制矩陣）。
狀態方程與輸出方程，共同構成了描述系統特性的完整方程(即數學模型)，統稱為系統方程。
3、以系統的狀態方程與輸出方程為研究對象，對系統特性進行系統分析的方法，稱為狀態變量法。
一般步驟：
1）選擇系統的狀態變量；
2）列寫系統的狀態方程；
3）求解狀態方程，以得到狀態向量；
4）列寫系統的輸出方程；
5）將第(3)步求得的狀態向量及已知的激勵向量，代入第(4)步所列出的輸出方程中，即得所求響應向量。