(1)定義VC Dimension：
dichotomies數量的上限是成長函數，成長函數的上限是邊界函數：
所以VC Bound可以改寫成：
下面我們定義VC Dimension：
對於某個備選函數集H，VC Dimension就是它所能shatter的最大數據個數N。VC Dimension = minimum break point - 1。所以在VC Bound中，(2N)^(k-1)可以替換為(2N)^(VC Dimension)。VC Dimension與學習算法A，輸入分布P，目標函數f均無關。
(2)PLA的VC Dimension
1D的PLA最多shatter2個點，所以VC Dimension = 2；
2D的PLA最多shatter3個點，所以VC Dimension = 3；
猜測dD的PLA，VC Dimension會不會等於d+1？ 只需證明dvc≥d+1並且 dvc≤d+1
- 證明VC Dimension≥d+1，只需證明H可以shatter某些d+1個輸入。
構造一組d+1個輸入：
X=
第一列灰色的1是對每個輸入提高1維的操作，這個是一個d+1維的方陣，對角線全部是1，所以該矩陣可逆。即對於任意一種輸出，我們總能找到一個備選函數使得
圖2
即這一組輸入的所有dichotomies都被窮盡了，所以VC Dimension≥d+1得證
- 證明VCDimension≤d+1，只需證H不能shatter任何d+2個輸入
在2D情形下構造一組4個輸入：
圖3
所以 x4 = x3 + x2 - x1