bzoj1026 [SCOI2009]windy數

1026: [SCOI2009]windy數

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Description

　　windy定義了一種windy數。不含前導零且相鄰兩個數字之差至少為2的正整數被稱為windy數。 windy想知道，
在A和B之間，包括A和B，總共有多少個windy數？

Input

　　包含兩個整數，A B。

Output

　　一個整數

Sample Input

【輸入樣例一】
1 10
【輸入樣例二】
25 50

Sample Output

【輸出樣例一】
9
【輸出樣例二】
20

HINT

 

【數據規模和約定】

100%的數據，滿足 1 <= A <= B <= 2000000000 。

分析：第一次做數位dp的題，對於我來說還是有一定的難度.

      首先說一下題目的意思，windy數就是例如135,13這種數的相鄰組成數字之差大於2的數.數據給的A,B非常大，因此不可能將每一位的數字表示在狀態中，這樣就必須取一些有特點的量作為狀態.那么設f[i][j]為前i位中最高位是j的windy數的個數.很顯然，f[i][j] = sum(f[i-1][k]) |k - j| >= 2.

      題目讓我們求一個區間的windy數的個數，想到前綴和，用0至r的windy數的個數減 0至l-1windy數的個數。那么問題就是怎么求0至l區間的windy數的個數呢？我們定義的狀態是一種宏觀上的狀態，直接累加可能會造成累加超出區間的數，因此需要分類討論.

      假設我們需要求0至x（用數組表示）的區間的windy數的個數，x有t位，我們先求出t-1位的windy數的個數，因為這些windy數絕對比x小，不會超過這個區間，然后求出長度為t,最高位小於x[0]的windy數的個數，同樣不會超過這個區間.最后統計長度為t，最高位為x[0]的windy數的個數，怎么統計呢？枚舉i從0到x[1]-1,加上長度為t-1的最高位為i的數，不會超過這個區間，然后同樣的，再求最高位為x[1]的windy數的個數，類似於遞歸過程.如果abs(x[0] - x[1]) < 2,則最高位為x[0],次高位為x[1]的windy數再不存在了，直接退出，到最后一位時，如果還存在windy數，windy數的個數+1即可.

     上面說的有點抽象，看代碼可能更便於理解：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

long long t, a, b;

long long f[15][11],shu[15];

void init()
{
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= 10; i++)
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            for (int k = 0; k <= 9; k++)
                if (abs(j - k) >= 2)
                    f[i][j] += f[i - 1][k];
}

long long solve(long long x)
{
    memset(shu, 0, sizeof(shu));
    if (x == 0)
        return 0;
    long long k = 0,ans = 0;
    while (x)
    {
        shu[++k] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    for (int i = 1; i <= k - 1; i++)
        for (int j = 1; j <= 9; j++)
            ans += f[i][j];
    for (int i = 1; i < shu[k]; i++)
        ans += f[k][i];
    for (int i = k - 1; i >= 1; i--)
    {
        for (int j = 0; j <= shu[i] - 1; j++)
            if (abs(j - shu[i + 1]) >= 2)
                ans += f[i][j];
        if (abs(shu[i + 1] - shu[i]) < 2)
            break;
        if (i == 1)
            ans += 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    init();
    printf("%lld", solve(b) - solve(a - 1));

    //while (1);
    return 0;
}

 其實對於本題而言,記憶化搜索也可以做，而且相對於遞推而言更為簡單.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int a, b,num[20],dp[20][12];

int dfs(int len, int last, bool shangxian)
{
    int p;
    if (len <= 0)
        return 1;
    if (!shangxian && dp[len][last] != -1&& last >= 0)
        return dp[len][last];
    int cnt = 0, maxx = (shangxian ? num[len] : 9);
    for (int i = 0; i <= maxx; i++)
    {
        if (abs(i - last) < 2)
            continue;
        p = i;
        if (i == 0 && last == -10)
            p = last;
        cnt += dfs(len - 1, p, shangxian && (i == maxx));
    }
    //return cnt;
    if (last >= 0 && !shangxian)
        dp[len][last] = cnt;
    return cnt;
}

int solve(int x)
{
    int k = 0;
    while (x)
    {
        num[++k] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    memset(dp, 255, sizeof(dp));
    return dfs(k, -10, true);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("%d\n", solve(b) - solve(a - 1));

    return 0;
}