生成樹計數問題：給出一個無向圖，求它的生成樹的個數。
預備知識
（1）一個n個頂點的無向圖G，定義它的度數矩陣D，D是一個n*n的矩陣。對於頂點u，設度數為deg[u]，如果i=j，那么D[i][j]=deg[i],否則D[i][j]=0.
（2）一個n個頂點的無向圖G，定義它的鄰接矩陣A，A是一個n*n的矩陣。如果i和j之間有邊，那么A[i][j]=1,否則等於0。
（3）一個n個頂點m條邊的無向圖G，定義它的關聯矩陣B，B是一個n*m的矩陣。對於第i條邊e[i]=(u,v)，那么B[u][i]和B[v][i]中一個是1，一個是-1，第i列其他值為0。那么我們有
所以對於
如果i=j，它是頂點i的度數，否則，如果i和j之間有邊，那么它等於-1，否則它等於0.
（4）對於一個n個頂點m條邊的無向圖G，定義它的Kirchhoff矩陣C,C是一個n*n的矩陣，
很顯然,C=D-A
Matrix-Tree定理
對於一個無向圖G，它的生成樹個數等於其Kirchhoff矩陣任何一個n-1階主子式的行列式的絕對值。 所謂n-1階主子式，就是對於任意一個r，將C的第r行和第r列同表示時刪去后的新矩陣，用下面的字母表示$C_{r}$
接下來，我們首先證明下面四個性質：
性質1：對於任何一個圖的Kirchhoff矩陣C，它的行列式為0。
性質2：對於不連通的圖，它的Kirchhoff矩陣C的任一個n-1階主子式的行列式均為0。
性質3：如果G是一棵樹，它的Kirchhoff矩陣C的任一個n-1階主子式的行列式均為1。
性質4：柯西-比內公式。設A和B分別是n*m和m*n的矩陣，那么
其中S是一個子集，大小為n，也就是S取遍所有的n子集，相應的As和Bs為從A和B中取出S元素下標的所有列和所有行。
性質1證明：由C的性質可得，它的每一行每一列和均為0，那么我們把第2到第n行都加到第一行，那么第一行就全部是0了。有一行全部是0，那么它的行列式就是0了。
性質2證明： 假設G中存在k(k>1)個連通分量G1，G2，,,,，Gk，那么，我們可以重新安排C的行和列使得屬於G1的頂點首先出現，然后是G2等。顯然，行和列都要交換，所以進行了偶數次交換。所以，行列式的符號沒有改變。 交換后是下面這個樣子：
設r是Gi中的第j行，那么
性質3證明：這里給出一個構造的方法，使得矩陣$C_{r}$通過一系列變換，成為上三角矩陣，且對角線全部是1。第一步，將r看做樹根，將所有點按照距離頂點r的距離升序排序，距離相同的隨便排。第二步，重新編號 n-1個頂點，距離r越近的點編號越小，Cr這個矩陣也按照重新編號后的順序重新排列。第三步，對於以r為根的樹，設j是i的父親（父親是r的就不用管了），那么將第i列加到第j列上。 最后我們來說明，現在的Cr是對角線為1的上三角矩陣，也就是說明對於每一列x，第x個元素下面都是0，第x個元素是1。首先最后一列即n-1列滿足，因為它下面沒有元素了。我們來看第x列，它的孩子所在的列都在它的后面。它的孩子，不妨設有三個a,b,c,滿足了第a列第a個元素下面都是0，第a個元素是1，第b列第b個元素下面都是0，第b個元素是1,第c列第c個元素下面都是0，第c個元素是1 。而第x列第x個元素下面的第a，b,c正好都是-1，a,b,c列加過來之后變成0了，而第x個元素原來是4（除了三個孩子外，它還有父親），而第a,b,c列的第x個元素都是-1，加過來之后就是4-3=1了。證畢。
性質4：我不會證明這個。
有了上面四條性質，來證明Matrix-tree定理：
我們看到，S枚舉了所有的n-1子集，那么對於
如果S枚舉的n-1子集是一個生成樹，它的值為1，否則它為0。所以$det(C_{r})$就是生成樹的個數。