在AD轉換中的過采樣和噪聲形成

1. 直接量化的過采樣AD轉換

此類系統的模型可以用下圖表示。

圖中x_a(t)是輸入信號，e(t)是量化引入的噪聲，x_d[n]是最終得到的數字信號，包含分量x_da和x_de。

對於M倍過采樣，信號與量化噪聲的功率譜如下圖。

從上圖可以看出，M越大，信號與噪聲之間的重疊部分就越少。

現在將上面的信號通過一個截止頻率為PI/M的理想數字濾波器，信號功率不受影響，而PI/M之外的量化噪聲將被濾除。再經過M倍降采樣后，信號與量化噪聲的功率譜就變成下面的樣子（量化噪聲只有濾波降采樣前的1/M）：

計算表明（參考《離散時間信號處理》，奧本海默），為達到給定的信號量化噪聲比，過采樣率M每增加1倍，就可減少1/2位；或者說，為達到期望精度所能減少的位數N與過采樣比M的關系為M=4^N。

 

2. 用噪聲成形的過采樣AD轉換

前文述方法可以使用過采樣的方法改善信噪比，但過采樣比隨着所需改善的位數提高而急劇增加。例如16b->20b，所需過采樣比就是256。噪聲成形的思路是將低頻段的量化噪聲“搬移”到高頻部分去。如下圖所示。

量化后的結果反饋回了輸入端。

• D/A轉換器：1個采樣周期延時
• 積分器：離散時間電容積分器，使用累加器建模，y[n]=x[n]+y[n-1]，對應傳遞函數$H(z)=\frac{1}{1-z^{-1} }$

於是這種方法的等效模型如下圖：

 

從x[n]到y[n]的傳遞函數H_x(z)和從e[n]到y[n]的傳遞函數H_e[z]可以按系統疊加性質計算出來（分別置e[n]和x[n]為0）：

H_x(z)=1

H_e(z)=1-z^-1

它們的單位脈沖響應分別是

y_x[n]=x[n]

e'[n]=e[n]-e[n-1]

這樣，y[n]=x[n]+e'[n]

e'[n]可看做將e[n]通過一個單位沖擊響應為δ[n]-δ[n-1]的系統而得到。對於LTI系統，輸出功率譜是輸入功率譜乘以系統頻響函數的模平方，因此（設e[n]的功率譜為σ_e²）：

Φ_e'e'(e^jω)=σ_e²|H_e(e^jω)|²=σ_e²[2sin(ω/2)]²

與此對應的功率譜如下圖。相比於直接過采樣，噪聲功率更多的位於PI/M之外。

有些文章將該系統對量化噪聲的處理稱作“濾波”，因為滑動差分的頻率響應確實是高通。不過從滑動差分的頻率響應來看，稱之為“噪聲形成”更合適一點。

以上所述即Delta-Sigma ADC的基本原理。這種方法可以進行級聯，以進一步將量化噪聲“推”到PI/M之外。

進一步的量化分析參考教科書。