發現自己傻傻分不清斜率優化和決策單調性→_→，被一些博客誤導了。。於是總結一下。萌新們可以先寫寫[hnoi2008]玩具裝箱，並不難。
數
相信有心想學習斜率優化的同志們一定自己摸索着寫過[hnoi2008]玩具裝箱這道題吧，我剛開始學習斜率優化的時候，也是寫了這個，然后似懂非懂的發現，好像斜率優化就是先證明決策單調性，然后再用單調隊列維護一下什么的，這不就是套個模板的東西嗎→_→。
對於某一類型的dp方程$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])}$$
其中$a[x],b[x],c[x],d[x]$是關於$x$的函數，且$b$單增。$——————【1】$
按照一貫的套路，先數學歸納法證明決策單調性。
1.歸納假設：
假設有${i}$前兩個決策點${j,k(j<k)}$，且${k}$的決策要比${j}$好，即：
$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】}$$
2.歸納推理：
此時后面有狀態${i+1}$，這里我們為了簡單起見，不妨設${a[i+1]=a[i]-v,v>0}$，也就是${a}$單調遞減。$${即證：a[i+1]*b[j]+c[j]+d[i+1] >= a[i+1]*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$
$${(a[i]-v)*b[j]+c[j]+d[i+1] >= (a[i]-v)*b[k]+c[k]+d[i+1]}$$
$${化簡得：a[i]*b[j]+v*b[k]+c[j] >= a[i]*b[k]+v*b[j]+c[k]}$$
$${~}$$
$${由【2】得：a[i]*b[j]+c[j] >= a[i]*b[k]+c[k]}$$
$${由【1】得：b[k]>b[j]}$$
$${又\because v>0}$$
$${\therefore v*b[k] >= v*b[j]}$$
$${得證}$$
所以，決策單調性是存在的。我們將由決策單調性得出的式子展開，化成斜率式：
$${a[i]*b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]*b[k]+c[k]+d[i]，j<k}$$
$${-a[i]>=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$
記斜率$${slope(i,j)=\frac{c[k]-c[j]}{b[k]-b[j]}}$$
然后發現這個東西很符合單調隊列的尿性：
- ${-a[i]>=slope(q[l],q[l+1])}$。因為${q[l]}$在${q[l+1]}$之前加入，那么顯然這個式子就表示${q[l]}$決策不如${q[l+1]}$優，我們可以將隊首pop掉。
- ${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。假設我們在后面存在一個${a[t]}$使得${-a[t]>=slope(q[r-1],q[r])}$那么等到pop了${q[r-1]}$之后，${-a[t]}$一定也會${>=slope(q[r],i)}$，${q[r]}$也會被pop。所以說${q[r]}$實際上是無用的，我們可以直接將它pop掉。
問題就這樣優化到了${O(n)}$。
回顧一下我們之所以可以使用斜率優化，是因為這個dp方程具有決策單調性；否則我們推不出斜率式。之后我們將決策單調性的式子變形為斜率式，當滿足斜率式的時候就表明前一個決策不如后一個決策優，一切都是圍繞着決策單調性開展的，可以說決策單調性是斜率優化的前提。（那是真的么
，欲知后事，請看下文）
現在我們換一個角度來考慮問題，剛剛是直接從”數“的角度進行了嚴謹的證明，那么我們現在從”形“的角度來意會。
形
dp方程：$${f[i]=Min(a[i]*b[j]+c[j]+d[i])，b[j]單增}$$
我們這里沿用上面“數”的條件：${a}$單減，${b}$單增。
移項：$${-a[i]*b[j]+f[i]=c[j]+d[i]}$$
是不是很像直線的斜截式：${-a[i]}$為直線的斜率；直線過點：${(b[j],c[j]+d[i])}$；${f[i]}$即為直線在Y軸上的截距。
可以看出，因為${f[i]}$要盡可能小，所以我們把之前小於${i}$的${j}$畫在平面直角坐標系上，一如線性規划，把這條斜線自下往上平移時遇到的第一個點，即能使目前狀態有最小值的點。於是我們需要維護一個下凸殼，把那些肯定不會貢獻的點刪掉。
我們用一個單調隊列維護這個凸殼，因為要保證凸殼的下凸性，所以我們顯然可以得到單調隊列pop隊尾的條件：${slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)}$。
考慮什么情況下pop隊首元素（這里我們的討論都是基於${f[i]}$取最小值的情況下的）：
- 斜率${-a[i]}$單增（因為${a}$單減）。${-a[i]>slope(q[l],q[l+1])}$。
- 斜率不單調。無法pop隊首，二分或者三分查找隊列中的最優解。二分做法：假設你要在上凸包上二分找斜率為${k}$的切線。取中間的${mid}$號點，如果${mid+1}$存在且與${mid}$點的斜率小於${k}$，則${l=mid+1}$；如果${mid-1}$存在且與${mid}$點的斜率大於${k}$，則${r=mid-1}$；如果上面兩條都不滿足，則${mid}$就是切點。
不錯，你一定已經發現第一種情況所對應的維護方式不是跟之前所說“數”的單調隊列維護方式一模一樣嗎，沒錯，其實這只是兩種不同的解題方式所得出來的同樣的結果。
兩種方法各有優缺點吧，“形”的角度比較方便理解，對於更高深的cdq分治維護凸包可以比較清晰的了解。但是遇到復雜的dp方程以及決策單調性證明就得靠“數”了（比如國王飲水記），看情況使用吧。
之前說的決策單調性是斜率優化的基礎這句話其實並不嚴謹，像這種從圖形角度來求解的斜率優化就並沒有用到決策單調性。想一想如果能證明決策單調性，那么一定就是對${a}$和${b}$的單調性有要求的，否則的話就是什么斜率不單調啦，在凸包上二分啦什么的。
這就是斜率優化啦。
小科普
回顧之前斜率優化的運用，它必須要有一個前提條件：${b}$（橫坐標）單增。而如果${b[j]}$不單調怎么辦呢？還能不能用斜率優化呢？
答案是可以的，我們需要使用CDQ分治或者splay來解決這個問題。
總結
斜率單調暴力移指針
斜率不單調二分找答案
x坐標單調開單調隊列
x坐標不單調開平衡樹|cdq分治
參考資料：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_7a1746820100xztv.html
http://tieba.baidu.com/p/3671167462
http://blog.csdn.net/u010336344/article/details/52693858