線性回歸可以說是機器學習中最基本的問題類型了，這里就對線性回歸的原理和算法做一個小結。
1. 線性回歸的模型函數和損失函數
線性回歸遇到的問題一般是這樣的。我們有m個樣本，每個樣本對應於n維特征和一個結果輸出，如下：
\((x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ...x_n^{(0)}, y_0), (x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, ...x_n^{(1)},y_1), ... (x_1^{(m)}, x_2^{(m)}, ...x_n^{(m)}, y_m)\)
我們的問題是，對於一個新的\((x_1^{(x)}, x_2^{(x)}, ...x_n^{(x)} \), 他所對應的\(y_x\)是多少呢？ 如果這個問題里面的y是連續的，則是一個回歸問題，否則是一個分類問題。
對於n維特征的樣本數據，如果我們決定使用線性回歸，那么對應的模型是這樣的：
\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 其中\(\theta_i \) (i = 0,1,2... n)為模型參數，\(x_i \) (i = 0,1,2... n)為每個樣本的n個特征值。這個表示可以簡化，我們增加一個特征\(x_0 = 1 \) ，這樣\(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}\)。
進一步用矩陣形式表達更加簡潔如下：
\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X}) = \mathbf{X\theta}\)
其中， 假設函數\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})\)為mx1的向量,\(\mathbf{\theta}\)為nx1的向量，里面有n個代數法的模型參數。\(\mathbf{X}\)為mxn維的矩陣。m代表樣本的個數，n代表樣本的特征數。
得到了模型，我們需要求出需要的損失函數，一般線性回歸我們用均方誤差作為損失函數。損失函數的代數法表示如下：
\(J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{i=1}^{m}(h_\theta(x_0^{(i)}, x_1^{(i)}, ...x_n^{(i)}) - y_i)^2\)
進一步用矩陣形式表達損失函數：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
由於矩陣法表達比較的簡潔，后面我們將統一采用矩陣方式表達模型函數和損失函數。
2. 線性回歸的算法
對於線性回歸的損失函數\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)，我們常用的有兩種方法來求損失函數最小化時候的\(\mathbf{\theta}\)參數：一種是梯度下降法，一種是最小二乘法。由於已經在其它篇中單獨介紹了梯度下降法和最小二乘法，可以點鏈接到對應的文章鏈接去閱讀。
如果采用梯度下降法，則\(\mathbf{\theta}\)的迭代公式是這樣的：
\(\mathbf\theta= \mathbf\theta - \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
通過若干次迭代后，我們可以得到最終的\(\mathbf{\theta}\)的結果
如果采用最小二乘法，則\(\mathbf{\theta}\)的結果公式如下：
\( \mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \)
當然線性回歸，還有其他的常用算法，比如牛頓法和擬牛頓法，這里不詳細描述。
3. 線性回歸的推廣：多項式回歸
回到我們開始的線性模型，\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 如果這里不僅僅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就變成了多項式回歸。這里寫一個只有兩個特征的p次方多項式回歸的模型：
\(h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_1^{2} + \theta_{4}x_2^{2} + \theta_{5}x_{1}x_2\)
我們令\(x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2\) ,這樣我們就得到了下式：
\(h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_3 + \theta_{4}x_4 + \theta_{5}x_5\)
可以發現，我們又重新回到了線性回歸，這是一個五元線性回歸，可以用線性回歸的方法來完成算法。對於每個二元樣本特征\((x_1,x_2)\),我們得到一個五元樣本特征\((1, x_1, x_2, x_{1}^2, x_{2}^2, x_{1}x_2)\)，通過這個改進的五元樣本特征，我們重新把不是線性回歸的函數變回線性回歸。
4. 線性回歸的推廣：廣義線性回歸
在上一節的線性回歸的推廣中，我們對樣本特征端做了推廣，這里我們對於特征y做推廣。比如我們的輸出\(\mathbf{Y}\)不滿足和\(\mathbf{X}\)的線性關系，但是\(ln\mathbf{Y}\) 和\(\mathbf{X}\)滿足線性關系，模型函數如下：
\(ln\mathbf{Y} = \mathbf{X\theta}\)
這樣對與每個樣本的輸入y，我們用 lny去對應， 從而仍然可以用線性回歸的算法去處理這個問題。我們把 Iny一般化，假設這個函數是單調可微函數\(\mathbf{g}(.)\),則一般化的廣義線性回歸形式是：
\(\mathbf{g}(\mathbf{Y}) = \mathbf{X\theta}\) 或者 \(\mathbf{Y} = \mathbf{g^{-1}}(\mathbf{X\theta})\)
這個函數\(\mathbf{g}(.)\)我們通常稱為聯系函數。
5. 線性回歸的正則化
為了防止模型的過擬合，我們在建立線性模型的時候經常需要加入正則化項。一般有L1正則化和L2正則化。
線性回歸的L1正則化通常稱為Lasso回歸，它和一般線性回歸的區別是在損失函數上增加了一個L1正則化的項，L1正則化的項有一個常數系數\(\alpha\)來調節損失函數的均方差項和正則化項的權重，具體Lasso回歸的損失函數表達式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha||\theta||_1\)
其中n為樣本個數，\(\alpha\)為常數系數，需要進行調優。\(||\theta||_1\)為L1范數。
Lasso回歸可以使得一些特征的系數變小，甚至還是一些絕對值較小的系數直接變為0。增強模型的泛化能力。
Lasso回歸的求解辦法一般有坐標軸下降法（coordinate descent）和最小角回歸法（ Least Angle Regression），由於它們比較復雜，在我的這篇文章單獨講述： 線程回歸的正則化-Lasso回歸小結
線性回歸的L2正則化通常稱為Ridge回歸，它和一般線性回歸的區別是在損失函數上增加了一個L2正則化的項，和Lasso回歸的區別是Ridge回歸的正則化項是L2范數，而Lasso回歸的正則化項是L1范數。具體Ridge回歸的損失函數表達式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\)
其中\(\alpha\)為常數系數，需要進行調優。\(||\theta||_2\)為L2范數。
Ridge回歸在不拋棄任何一個特征的情況下，縮小了回歸系數，使得模型相對而言比較的穩定，但和Lasso回歸比，這會使得模型的特征留的特別多，模型解釋性差。
Ridge回歸的求解比較簡單，一般用最小二乘法。這里給出用最小二乘法的矩陣推導形式，和普通線性回歸類似。
令\(J(\mathbf\theta)\)的導數為0，得到下式：
\(\mathbf{X^T(X\theta - Y) + \alpha\theta} = 0\)
整理即可得到最后的\(\theta\)的結果：
\(\mathbf{\theta = (X^TX + \alpha E)^{-1}X^TY}\)
其中E為單位矩陣。
除了上面這兩種常見的線性回歸正則化，還有一些其他的線性回歸正則化算法，區別主要就在於正則化項的不同，和損失函數的優化方式不同，這里就不累述了。
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