在程序中如何判斷兩個浮點數相等

                                                       ACM於1990年宣布William M. Kahan在浮點數運算標准的制定上的貢獻而獲得圖靈獎[1]。 
                                                                                                                                                                  --關於浮點數
        極理想情況下，判斷兩個實數 a 和 b 相等，這里不妨將兩個數分別定義為double型，直接使用 a == b 語句。眾所周知，這樣的代碼是不能正常工作的，原因是，1.0000001 和 1.0 這兩個數在絕大多數的情況下，認為它們是相等的，所以經常能看到如下的 C 或者 C++ 代碼  if(fabs(a-b)<=eps_0) ，一般地，eps_0設置為很小的數，比如1.0e-6 或者 1.0e-7，直觀地來講，就是說當兩個數之間的距離（稱為絕對誤差）很小很小的時候，我們就認為它們是相等的。
       如果數字的數量級很大時，比如下面這兩個數10000.0001和10000.000，顯然使用上述的距離判斷的結果兩者不相等，不過，我們來看它們之間的相對誤差為(1000.0001-10000.000) /10000.000=1.0e-9，那么這兩者也應該認為是相等的，於是使用相對誤差的想法，將代碼改寫為 if(fabs(a-b)<=eps*fabs(a)) [2] 。 相對和絕對的區別，就像前段時間朋友圈廣泛流傳的關於賺錢這件事情，別人的一個小目標是別人的小目標，每個人要根據自己的能力有自己的小目標（相對），如果把別人的小目標當作所有人的小目標（絕對），只是一句調侃而已，自然當不得真。
       使用相對誤差可以回避掉數字數量級較大的問題，不過，它對於數量級較小的問題解決起來效果不佳，考慮一種極端情況，比如被比較的兩個數字分別為 a=0.0 和 b=0.00000001，這個時候這兩個數字相差很小，認為相等，但是使用相對誤差的代碼時，由於右端項為零，而左端項大於零，顯然等式不成立，即使用該方法判斷兩個數字並不相等。 比較完善的方式是將絕對誤差和相對誤差結合起來考慮，來設計C++代碼：
        bool isEqual(const double a, const double b) {
              const eps_0 = 1.0e-6, rel_error = 10e-4;
              bool isEqualFlag = FALSE;
              if (fabs(a-b)<=eps_0) {
                    isEqualFlag = TRUE;
              } 
              else {
                      if(fabs(a) >= 1000.0) {
                               if(fabs(a-b)<=rel_error*fabs(a)) {
                                          isEqualFlag = TRUE;
                               }
                   }
              }
              return isEqualFlag;
         } 
        這段函數貌似應該可以正常工作了，程序中的 rel_error 和 1000.0 可以根據實際需要進行修改，紅色的標注部分是采用王珉老師的關於分情況討論的方式，這樣相較於不分情況討論的方式來說，能夠有效減少計算量，有興趣的同學童鞋可以查看后面的回復。

       注：讀過 Kanan 的文章或者書，名字有印象，讀的內容則完全木有印象了 :-( 


參考資料：
       [1] http://baike.baidu.com/link?url=dKEdlcVXDrqZPOwlYrdGJHIUj2R2o6FTrytdnEKegTdp8pAobEAgln8xafbg9aVeGrmX7ZZDzfH4EmpnmOLCYzDnlvuhooaZwN1Hr1V53gkTmvLeTCuHbZrd4DAOaYoMHoWy35OqHJ_iW42A1fT61q
       [2] http://baike.baidu.com/link?url=zliuoxROiLTdcJ7gdz0smcHam_4wEUeOpbFJG_mvS7aicaZvHt37-w0GYSi83ApuCAAGi-O8-7NrStNdPMciN4ztQFvyYBlHrjVv8YIgZmEoK2gllb-3cjV9j9cSEC7E
       [3] http://www.cnblogs.com/zourrou/archive/2011/05/08/2040712.html