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1. 單軸快速排序的基本原理
快速排序的基本思想就是從一個數組中任意挑選一個元素（通常來說會選擇最左邊的元素）作為中軸元素，將剩下的元素以中軸元素作為比較的標准，將小於等於中軸元素的放到中軸元素的左邊，將大於中軸元素的放到中軸元素的右邊，然后以當前中軸元素的位置為界，將左半部分子數組和右半部分子數組看成兩個新的數組，重復上述操作，直到子數組的元素個數小於等於1（因為一個元素的數組必定是有序的）。
以下的代碼中會常常使用交換數組中兩個元素值的Swap方法，其代碼如下
public static void Swap(int[] A, int i, int j){
int tmp;
tmp = A[i];
A[i] = A[j];
A[j] = tmp;
}
2. 快速排序中元素切分的方式
快速排序中最重要的就是步驟就是將小於等於中軸元素的放到中軸元素的左邊，將大於中軸元素的放到中軸元素的右邊，我們暫時把這個步驟定義為切分。而剩下的步驟就是進行遞歸而已，遞歸的邊界條件為數組的元素個數小於等於1。以首元素作為中軸，看看常見的切分方式。
2.1 從兩端掃描交換的方式
基本思想，使用兩個變量i和j，i指向首元素的元素下一個元素（最左邊的首元素為中軸元素），j指向最后一個元素，我們從前往后找，直到找到一個比中軸元素大的，然后從后往前找，直到找到一個比中軸元素小的，然后交換這兩個元素，直到這兩個變量交錯（i > j）（注意不是相遇 i == j，因為相遇的元素還未和中軸元素比較）。最后對左半數組和右半數組重復上述操作。
public static void QuickSort1(int[] A, int L, int R){
if(L < R){//遞歸的邊界條件，當 L == R時數組的元素個數為1個
int pivot = A[L];//最左邊的元素作為中軸，L表示left, R表示right
int i = L+1, j = R;
//當i == j時，i和j同時指向的元素還沒有與中軸元素判斷，
//小於等於中軸元素，i++,大於中軸元素j--,
//當循環結束時，一定有i = j+1, 且i指向的元素大於中軸，j指向的元素小於等於中軸
while(i <= j){
while(i <= j && A[i] <= pivot){
i++;
}
while(i <= j && A[j] > pivot){
j--;
}
//當 i > j 時整個切分過程就應該停止了，不能進行交換操作
//這個可以改成 i < j， 這里 i 永遠不會等於j， 因為有上述兩個循環的作用
if(i <= j){
Swap(A, i, j);
i++;
j--;
}
}
//當循環結束時，j指向的元素是最后一個（從左邊算起）小於等於中軸的元素
Swap(A, L, j);//將中軸元素和j所指的元素互換
QuickSort1(A, L, j-1);//遞歸左半部分
QuickSort1(A, j+1, R);//遞歸右半部分
}
}
2.2 兩端掃描，一端挖坑，另一端填補
基本思想，使用兩個變量i和j，i指向最左邊的元素，j指向最右邊的元素，我們將首元素作為中軸，將首元素復制到變量pivot中，這時我們可以將首元素i所在的位置看成一個坑，我們從j的位置從右向左掃描，找一個小於等於中軸的元素A[j]，來填補A[i]這個坑，填補完成后，拿去填坑的元素所在的位置j又可以看做一個坑，這時我們在以i的位置從前往后找一個大於中軸的元素來填補A[j]這個新的坑，如此往復，直到i和j相遇（i == j，此時i和j指向同一個坑）。最后我們將中軸元素放到這個坑中。最后對左半數組和右半數組重復上述操作。
public static void QuickSort2(int[] A, int L, int R){
if(L < R){
//最左邊的元素作為中軸復制到pivot，這時最左邊的元素可以看做一個坑
int pivot = A[L];
//注意這里 i = L,而不是 i = L+1, 因為i代表坑的位置,當前坑的位置位於最左邊
int i = L, j = R;
while(i < j){
//下面面兩個循環的位置不能顛倒，因為第一次坑的位置在最左邊
while(i < j && A[j] > pivot){
j--;
}
//填A[i]這個坑,填完后A[j]是個坑
//注意不能是A[i++] = A[j],當因i==j時跳出上面的循環時
//坑為i和j共同指向的位置,執行A[i++] = A[j],會導致i比j大1，
//但此時i並不能表示坑的位置
A[i] = A[j];
while(i < j && A[i] <= pivot){
i++;
}
//填A[j]這個坑，填完后A[i]是個坑，
//同理不能是A[j--] = A[i]
A[j] = A[i];
}
//循環結束后i和j相等，都指向坑的位置，將中軸填入到這個位置
A[i] = pivot;
QuickSort2(A, L, i-1);//遞歸左邊的數組
QuickSort2(A, i+1, R);//遞歸右邊的數組
}
}
2.3 單端掃描方式
j從左向右掃描，A[1,i]表示小於等於pivot的部分，A[i+1,j-1]表示大於pivot的部分，A[j, R]表示未知元素
初始化時，選取最左邊的元素作為中軸元素，A[1,i]表示小於等於pivot的部分，i指向中軸元素（i < 1），表示小於等於pivot的元素個數為0，j以后的都是未知元素（即不知道比pivot大，還是比中軸元素小），j初始化指向第一個未知元素。
當A[j]大於pivot時，j繼續向前，此時大於pivot的部分就增加一個元素
上圖中假設對A[j]與pivot比較后發現A[j]大於pivot時，j的變化
當A[j]小於等於pivot時，我們注意注意i的位置，i的下一個就是大於pivot的元素，我們將i增加1然后交換A[i]和A[j]，交換后小於等於pivot的部分增加1，j增加1，繼續掃描下一個。而i的下一個元素仍然大於pivot，又回到了先前的狀態。
上圖中假設對A[j]與pivot比較后發現A[j] <= pivot時，i，j的變化
public static void QuickSort3(int[] A, int L, int R){
if(L < R){
int pivot = A[L];//最左邊的元素作為中軸元素
//初始化時小於等於pivot的部分，元素個數為0
//大於pivot的部分，元素個數也為0
int i = L, j = L+1;
while(j <= R){
if(A[j] <= pivot){
i++;
Swap(A, i, j);
j++;//j繼續向前，掃描下一個
}else{
j++;//大於pivot的元素增加一個
}
}
//A[i]及A[i]以前的都小於等於pivot
//循環結束后A[i+1]及它以后的都大於pivot
//所以交換A[L]和A[i],這樣我們就將中軸元素放到了適當的位置
Swap(A, L, i);
QuickSort3(A, L, i-1);
QuickSort3(A, i+1, R);
}
}
3. 三向切分的快速排序
三向切分快速排序的基本思想，用i，j，k三個將數組切分成四部分，a[L, i-1]表示小於pivot的部分，a[i, k-1]表示等於pivot的部分，a[j+1]表示大於pivot的部分，而a[k, j]表示未判定的元素（即不知道比pivot大，還是比中軸元素小）。我們要注意a[i]始終位於等於pivot部分的第一個元素，a[i]的左邊是小於pivot的部分。
我們選取最左邊的元素作為中軸元素，初始化時，i = L，k = L+1，j=R（L表示最左邊元素的索引，R表示最右邊元素的索引）
通過上一段的表述可知，初始化時<pivot部分的元素個數為0，等於pivot部分元素的個數為1，大於pivot部分的元素個數為0，這顯然符合目前我們對所掌握的情況。k自左向右掃描直到k與j錯過為止（k > j）。我們掃描的目的就是逐個減少未知元素，並將每個元素按照和pivot的大小關系放到不同的區間上去。
在k的掃描過程中我們可以對a[k]分為三種情況討論
（1）a[k] < pivot 交換a[i]和a[k]，然后i和k都自增1，k繼續掃描
（2）a[k] = pivot k自增1，k接着繼續掃描
（3）a[k] > pivot 這個時候顯然a[k]應該放到最右端，大於pivot的部分。但是我們不能直接將a[k]與a[j]交換，因為目前a[j]和pivot的關系未知，所以我們這個時候應該從j的位置自右向左掃描。而a[j]與pivot的關系可以繼續分為三種情況討論
3.1）a[j] > pivot j自減1，j接着繼續掃描
3.2）a[j] == pivot 交換a[k]和a[j]，k自增1，j自減1，k繼續掃描（注意此時j的掃描就結束了）
3.3）a[j] < pivot: 此時我們注意到a[j] < pivot, a[k] > pivot, a[i] == pivot，那么我們只需要將a[j]放到a[i]上，a[k]放到a[j]上，而a[i]放到a[k]上。然后i和k自增1，j自減1，k繼續掃描（注意此時j的掃描就結束了）
注意，當掃描結束時，i和j的表示了=等於pivot部分的起始位置和結束位置。我們只需要對小於pivot的部分以及大於pivot的部分重復上述操作即可。
public static void QuickSort3Way(int[] A, int L, int R){
if(L >= R){//遞歸終止條件，少於等於一個元素的數組已有序
return;
}
int i,j,k,pivot;
pivot = A[L]; //首元素作為中軸
i = L;
k = L+1;
j = R;
OUT_LOOP:
while(k <= j){
if(A[k] < pivot){
Swap(A, i, k);
i++;
k++;
}else
if(A[k] == pivot){
k++;
}else{// 遇到A[k]>pivot的情況，j從右向左掃描
while(A[j] > pivot){//A[j]>pivot的情況,j繼續向左掃描
j--;
if(j < k){
break OUT_LOOP;
}
}
if(A[j] == pivot){//A[j]==pivot的情況
Swap(A, k, j);
k++;
j--;
}else{//A[j]<pivot的情況
Swap(A, i, j);
Swap(A, j, k);
i++;
k++;
j--;
}
}
}
//A[i, j] 等於 pivot 且位置固定，不需要參與排序
QuickSort3Way(A, L, i-1); // 對小於pivot的部分進行遞歸
QuickSort3Way(A, j+1, R); // 對大於pivot的部分進行遞歸
}
4. 雙軸快速排序
雙軸快速排序算法思路和三向切分快速排序算法的思路基本一致，雙軸快速排序算法使用兩個軸，通常選取最左邊的元素作為pivot1和最右邊的元素作pivot2。首先要比較這兩個軸的大小，如果pivot1 > pivot2，則交換最左邊的元素和最右邊的元素，已保證pivot1 <= pivot2。雙軸快速排序同樣使用i，j，k三個變量將數組分成四部分
A[L+1, i]是小於pivot1的部分，A[i+1, k-1]是大於等於pivot1且小於等於pivot2的部分，A[j, R]是大於pivot2的部分，而A[k, j-1]是未知部分。和三向切分的快速排序算法一樣，初始化i = L，k = L+1，j=R，k自左向右掃描直到k與j相交為止（k == j）。我們掃描的目的就是逐個減少未知元素，並將每個元素按照和pivot1和pivot2的大小關系放到不同的區間上去。
在k的掃描過程中我們可以對a[k]分為三種情況討論（注意我們始終保持最左邊和最右邊的元素，即雙軸，不發生交換）
（1）a[k] < pivot1 i先自增，交換a[i]和a[k]，k自增1，k接着繼續掃描
（2）a[k] >= pivot1 && a[k] <= pivot2 k自增1，k接着繼續掃描
（3）a[k] > pivot2: 這個時候顯然a[k]應該放到最右端大於pivot2的部分。但此時，我們不能直接將a[k]與j的下一個位置a[--j]交換（可以認為A[j]與pivot1和pivot2的大小關系在上一次j自右向左的掃描過程中就已經確定了，這樣做主要是j首次掃描時避免pivot2參與其中），因為目前a[--j]和pivot1以及pivot2的關系未知，所以我們這個時候應該從j的下一個位置（--j）自右向左掃描。而a[--j]與pivot1和pivot2的關系可以繼續分為三種情況討論
3.1）a[--j] > pivot2 j接着繼續掃描
3.2）a[--j] >= pivot1且a[j] <= pivot2 交換a[k]和a[j]，k自增1，k繼續掃描（注意此時j的掃描就結束了）
3.3） a[--j] < pivot1 先將i自增1，此時我們注意到a[j] < pivot1, a[k] > pivot2, pivot1 <= a[i] <=pivot2，那么我們只需要將a[j]放到a[i]上，a[k]放到a[j]上，而a[i]放到a[k]上。k自增1，然后k繼續掃描（此時j的掃描就結束了）
注意
1. pivot1和pivot2在始終不參與k，j掃描過程。
2. 掃描結束時，A[i]表示了小於pivot1部分的最后一個元素，A[j]表示了大於pivot2的第一個元素，這時我們只需要交換pivot1（即A[L]）和A[i]，交換pivot2（即A[R]）與A[j]，同時我們可以確定A[i]和A[j]所在的位置在后續的排序過程中不會發生變化（這一步非常重要，否則可能引起無限遞歸導致的棧溢出），最后我們只需要對A[L, i-1]，A[i+1, j-1]，A[j+1, R]這三個部分繼續遞歸上述操作即可。
public static void QuickSortDualPivot(int[] A, int L, int R){
if(L >= R){
return;
}
if(A[L] > A[R]){
Swap(A, L, R); //保證pivot1 <= pivot2
}
int pivot1 = A[L];
int pivot2 = A[R];
//如果這樣初始化 i = L+1, k = L+1, j = R-1,也可以
//但代碼中邊界條件, i,j先增減，循環截止條件，遞歸區間的邊界都要發生相應的改變
int i = L;
int k = L+1;
int j = R;
OUT_LOOP:
while(k < j){
if(A[k] < pivot1){
i++;//i先增加，首次運行pivot1就不會發生改變
Swap(A, i, k);
k++;
}else
if(A[k] >= pivot1 && A[k] <= pivot2){
k++;
}else{
while(A[--j] > pivot2){//j先增減，首次運行pivot2就不會發生改變
if(j <= k){//當k和j相遇
break OUT_LOOP;
}
}
if(A[j] >= pivot1 && A[j] <= pivot2){
Swap(A, k, j);
k++;
}else{
i++;
Swap(A, j, k);
Swap(A, i, k);
k++;
}
}
}
Swap(A, L, i);//將pivot1交換到適當位置
Swap(A, R, j);//將pivot2交換到適當位置
//一次雙軸切分至少確定兩個元素的位置，這兩個元素將整個數組區間分成三份
QuickSortDualPivot(A, L, i-1);
QuickSortDualPivot(A, i+1, j-1);
QuickSortDualPivot(A, j+1, R);
}
下面代碼初始化方式使得邊界條件更加容易確定，在下面代碼的方式中A[L+1]~A[i-1]表示小於pivot1的部分，A[i]~A[j]表示兩軸之間的部分，A[j]~A[R-1]表示大於pivot2的部分。
當排序數組中不存在pivot1~pivot2中的部分時，一趟交換完成后i恰好比j大1；當排序數組中僅僅存在一個元素x使得pivot1 <=x <=pivot2時，一趟交換完成，i和j恰好相等。
public static void QuickSortDualPivot(int[] A, int L, int R){
if(L >= R){
return;
}
if(A[L] > A[R]){
Swap(A, L, R); //保證pivot1 <= pivot2
}
int pivot1 = A[L];
int pivot2 = A[R];
int i = L+1;
int k = L+1;
int j = R-1;
OUT_LOOP:
while(k <= j){
if(A[k] < pivot1){
Swap(A, i, k);
k++;
i++;
}else
if(A[k] >= pivot1 && A[k] <= pivot2){
k++;
}else{
while(A[j] > pivot2){
j--;
if(j < k){//當k和j錯過
break OUT_LOOP;
}
}
if(A[j] >= pivot1 && A[j] <= pivot2){
Swap(A, k, j);
k++;
j--;
}else{//A[j] < pivot1
Swap(A, j, k);//注意k不動
j--;
}
}
}
i--;
j++;
Swap(A, L, i);//將pivot1交換到適當位置
Swap(A, R, j);//將pivot2交換到適當位置
//一次雙軸切分至少確定兩個元素的位置，這兩個元素將整個數組區間分成三份
QuickSortDualPivot(A, L, i-1);
QuickSortDualPivot(A, i+1, j-1);
QuickSortDualPivot(A, j+1, R);
}
補上一個單元測試
package test;
import java.util.Arrays;
import static datastruct.QuickSortForInt.*;
import org.junit.Assert;
import org.junit.Test;
public class QuickSortForIntTest {
@Test
public void testQuickSortDualPivot() {
int[] a;
int[] r;
a = new int[]{1};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{2, 1};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{1, 1};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{1, 1, 1};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{2, 1, 2};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{1, 2, 3};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
a = new int[]{3, 2, 1};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
/*pivot1 = 3, pivot2 = 5, 而且沒有3~5之間的元素*/
a = new int[]{3, 1, 6, 2, 7, 5};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
/*pivot1 = 3, pivot2 = 5, 只有一個元素4在3到5之間*/
a = new int[]{3, 1, 6, 4, 7, 5};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
/*pivot1 = 3, pivot2 = 5, 所有元素都大於5*/
a = new int[]{3, 6, 7, 5};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
/*pivot1 = 3, pivot2 = 5, 所有元素都小於3*/
a = new int[]{5, 2, 1, 3};
r = a.clone();
QuickSortDualPivot(a, 0, a.length-1);
Arrays.sort(r);
Assert.assertArrayEquals(a, r);
}
}
5. 參考文章
[1] 算法（第四版）RobertSedgewick