網易2017年校招筆試題 最大的奇約數

題目：

定義函數f(x)為x的最大奇數約數，x為正整數，例如f(44) = 11.

現在給出一個N,需要求出f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(N)

例如： N = 7

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 7 = 21.

 

分析：

奇數的最大奇約數是自身， 偶數的最大奇約數是是除去所有偶因子之后的那個奇數。所以直觀的思路就是挨個遍歷一遍加起來。

代碼：

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    long long result = 0;
    for (long long i = 1; i <= N; ++i) {
        int temp = i;
        while (temp % 2 == 0) {
            temp /= 2;
        }
        result += temp;
    }
    cout << result << endl;
    return 0;
} 

然而， N的取值范圍時10^10，所以O(n)的算法是超時的。

考慮優化，設sum(i) = f(1) + f(2) + ... + f(i)；

求sum(i)的過程中，對於f(i), i 為奇數可以直接求，就是 i 本身。

問題就是求所有f(i), i為偶數的和。

因為要求的是最大奇約數，所以f(2k) = f(k)，所以f(2) + f(4) + ... + f(2k) = f(1) + f(2) + ... + f(k);

所以

sum(i) =  sum (i / 2) + 1 + 3 + ... + i - 1  （i 為偶數）

          =  sum (i - 1) + i （i 為奇數）

時間復雜度O(logn)，可以解決。

#include<iostream>
using namespace std;
long long sum(long long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return  sum(n / 2) + n * n / 4;
    }
    else {
        return sum(n - 1) + n; 
    }
}
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    cout << sum(N) << endl;
}

有朋友回復可能擔心stackoverflow，當時寫的時候也覺得可能會遞歸層數太多，但是提交還是過了的。

還是可以寫成非遞歸的。

代碼：

#include<iostream>
using namespace std;
long long sum(long long n) {
    long long result = 0;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 0) {
            result += n * n / 4;
            n /= 2;
        }
        else {
            result += n;
            n--;
        }
    }
    return result;
}
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    cout << sum(N) << endl;
}