又做了幾道樹狀數組的題，決定放一塊兒總結一下；恩，總結一下。。
（ps：大牛可以直接跳過。。。）
這得從一張圖說起；
樹狀數組中用的d【】，每個點都有一定的管轄范圍；
如d[1]=a[1];
d[2]=a[1]+a[2];
d[3]=a[3];
d[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
等等；
這樣的結構關鍵是為了，對一個數組內部動態的刪除，增加，來高效的求某個點或者某個區間的值；
比如說對數組a，改變某一位的值需O（1），求某個k區間值O（k）；
這樣的m次操作是用O（m*k）；
顯然數據很大時，效率要差很多；
而樹狀數組，它改變某一位，或者求某個區間的和，都是O（logN）；效率大為改善；
對於上圖怎么計算區間的和；關鍵是需要幾個函數；
先說樹狀數組最簡單的用法，修改上面圖中的某個點，並求某段區間的和；
第一個函數；
1 int lowbit(int x) 2 { 3 return x&(-x); 4 }
這個函數主要是用來求的是某個點管轄范圍；
x&(-x);這個東西的由來就不說了。。。灰常奇妙啊。。
如果是x+=x&(-x);就是得到的改點的父節點的值；比如x=4時；就能得到8；
而x-=x&(-x)的話，就是得到x這個點的管轄區間的下個區間的管轄點；
比如說，x=7,代入后6；不斷循環到0能依次得到 6.。。4.；
把他們所有的管轄區間正好是1....7；
第二個函數
1 void update(int x,int num) 2 { 3 while(x<=N) 4 { 5 d[x]+=num; 6 x+=lowbit(x); 7 } 8 }
這個函數，是用來修改樹狀數組的；
如果是一般的算法只用修改改點就可；但是樹狀數組必須修改所有改點被管轄的區間；
比如把a數組的 a[2]減去1，（令N=16）；則所有2被管轄的點有4，8，16都應該減去1；
就是調用函數 update（2，-1）；
第三個函數
1 int getSum(int x) 2 { 3 int s=0; 4 while(x>0) 5 { 6 s+=d[x]; 7 x-=lowbit(x); 8 } 9 return s; 10 }
這個函數就是求區間和了。。比如getSum（7）的話，就是求a[1]+a[2]+...a[7];
上面是最基本的用法；要學習樹狀數組必須把上面的過程原理搞明白；
搞明白d數組和原來a數組的區別，初學者應該自己畫一畫；
另外有好幾種最原始樹狀數組的變形（一會兒討論二維的）；
大體上可以分為兩種；
一，每次修改的是一個點，所求的是關於某段區間；
這種情況最好辦；比如說poj2352 stars；求每個點前面比他小的點的個數；
只用設置數組a[],先全是0，然后有某個點就依次修改，並以此統計；
這一種是最基本的向上修改，向下統計；（基本上都是。。。）
二，每次修改的是一個區間，所求的值是關於某個點的；
代表的典型題目是HOJ1556 color the ball；
這個題是每次修改了一整個區間，最后求的是每個點修改的次數；
這個需要將上面的函數，稍加修改；
1 void update(int x,int num) 2 { 3 while(x>0) 4 { 5 d[x]+=num; 6 x-=lowbit(x); 7 } 8 }
要向下修改，將它后面的區間都加一遍；
再向后修改，把不必要的修改區間再減去；
用他的父節點記錄每個點的染色次數；
統計時要
1 int getSum(int x) 2 { 3 int s=0; 4 while(x<=N) 5 { 6 s+=d[x]; 7 x+=lowbit(x); 8 } 9 return s; 10 }
這種修改一個區間，而求某個點的修改次數的，一般的都是向下修改，向上統計；
對於二維的情況，d[][]中的d[i][j]這個點也有他自己的管轄區間，從一維推廣到二維；可以很容易理解；
一維情況是一段區間的管轄范圍，二維就是一個矩形的管轄范圍，而每一維可以獨立考慮；
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下面是幾道題目的簡單分析；
一，兩種情況；
1，要向上統計，向下修改；一般是修改一段區間的值，查找的是某個位上的值；
HDU1556 color the ball；
這個題是這類題最基本的；關鍵是理解這個向上統計，向下修改時怎么操作的和原理；
poj2155 Matrix
這個是樓天成出的題目；是一道很典型的二維數狀數組的應用；是hdu1556的二維版本；
記住要向上統計，向下修改；二維情況，最主要的是理解那個數組中的每個點保存的值的意義（一個矩形區域的總和）；最后記住取余；
poj2299 Ultra-QuickSort；（求逆序數）；
這個題可以用歸並排序做出，這里就略過不說了。。
求逆序數，也是樹狀數組的典型應用，求一堆數中前面比他大的數的個數；也需要向上統計，向下修改；
可以與求一串數中前面比他小的數的個數這個題來比較思考。。。
poj3067 Japan
此題要先對x排序，再對y求那個前面比他大的數的個數；（理解下）；
也是基本應用；
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二，2，要向上修改，向下統計；一般是修改某個位置上的值，查找的是一段區間的和；
poj2352 stars
這個題是最基本的一維情況，剛才已說過。。
poj1195 Mobile phone
是個二維的情況。改變的是某個位置上的數的大小；就將所有管轄這個點的 點修改；
統計的時候，就是向下統計；
poj2481 Cows
這個題要把y按不降排序，x不升排序，基本是就是poj2352了。。不過注意其中可以有完全重合區間；
poj3321 apple Tree;
這題要用到樹狀數組；但難度在那個dfs怎么求那個時間戳；求出后，在套入樹狀數組的那部分東東。就搞定了。。
poj1990 MooFest ;
這題O（n^2）算法必然超時；排序后要存儲前面比他小的數的總和，和個數；故樹狀數組；
poj2309
樹狀數組的小試牛刀，一下搞定，想明白的話。。
可以用樹狀數組的地方，一定可以用線段樹；反過來則不行；
但是，樹狀數組編碼簡單，對於一定區間修改，求值，很高效；
另外，一個講樹狀數組灰常好的網址要吐血推薦。。。
http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees#prob
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樹狀數組，剛開始學習的時候覺得很神奇，特別是求lowbit的時候...寫過幾題之后，覺得這東西還是挺好用的。需要注意一個超時陷阱：x==0的情況
樹狀數組在動態求區間之和的問題時候是一個很好的選擇。給出幾個例題：
（1）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2352 starts
題目大意為在二維坐標上給出一些星星的坐標，求某一個星星左方，下方，左下方的星星個數。求解這題時學習到了 “降維” 的思想，首先把星星按照Y坐標從小到大，X從小到大排序。樹狀數組以X坐標建立。這樣，在每次對一個星星進行統計時，之前出現過的星星，只要X坐標比其小，則必在其左，下，左下方。 這時，只需利用樹狀數組進行求從1~x的和既可，統計完之后要記得更新樹狀數組（后面附上代碼） （注意坐標為0的情況，這里是一個超時陷阱）
（2）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2155 Matrix
二維樹狀數組，題目大意為一個二維矩形平面，里面有數字0或1，初始時全為0，給出兩種操作，一種是改變一段子區間內的數值，把0改為1或者1改成0。另外一種是查詢某一坐標上的數值是0還是1,。
數據范圍：坐標N<=1000，操作數T <=50000。
解此題的方法很巧妙，首先我們考慮如果改變區間內數值時，把該區間內的每一個點都改變一次，那么時間一次操作就需要n^2，這樣太耗時。想象一下，如果我們在求某一點的操作次數時，把求操作次數轉化為求該點到（1,1）這點的和，那么我們在對某區間操作時，我們可設立四個哨兵來標記：
如圖，當我們要改變區間（3,3）~（6,5）的數值時，分別在按照上圖所示改變矩陣的數值，這時，區間內部到（1,1）點的和為1，而區間外部到（1,1）點的和為0，這樣就吧問題轉換為了動態求二維區間和的問題
，這時就用二維樹狀數組來解決既可
（3）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3321
題目大意為給出一棵樹，節點數<=100000，樹中的節點可能有蘋果，兩種操作：一種是改變某一節點的蘋果，有改為無，無改為有。第二種操作是求某一節點和以該節點為根的子樹的蘋果總數。操作數達到了100000；
這題需要把一個樹形結構變換為線性結構，然后使用樹狀數組動態求和。變換方法為DFS一次這棵樹，記錄下每個節點第一次訪問和最后一次訪問時的順序編號，這時，在某節點第一次訪問和最后一次訪問編號之間的訪問編號，必定為該節點的子節點，按照訪問編號建立樹狀數組，當改變某一節點蘋果時，只需按照該節點第一次訪問的編號在樹狀數組中修改值，查詢時統計某節點在第一次訪問和最后一次訪問編號之間的和。