算法學習(6)----整數轉換為格雷碼

　　在一組數的編碼中，若任意兩個相鄰的代碼只有一位二進制數不同，則稱這種編碼為格雷碼（Gray Code），另外由於最大數與最小數之間也僅一位數不同，即“首尾相連”，因此又稱循環碼或反射碼。在數字系統中，常要求代碼按一定順序變化。例如，按自然數遞增計數，若采用8421碼，則數0111變到1000時四位均要變化，而在實際電路中，4位的變化不可能絕對同時發生，則計數中可能出現短暫的其它代碼（1100、1111等）。在特定情況下可能導致電路狀態錯誤或輸入錯誤。使用格雷碼可以避免這種錯誤。格雷碼有多種編碼形式。

 

格雷碼有多種編碼形式

十進制數	4位自然二進制碼	4位典型格雷碼	十進制余三格雷碼	十進制空六格雷碼	十進制跳六格雷碼	步進碼
0	0000	0000	0010	0000	0000	00000
1	0001	0001	0110	0001	0001	00001
2	0010	0011	0111	0011	0011	00011
3	0011	0010	0101	0010	0010	00111
4	0100	0110	0100	0110	0110	01111
5	0101	0111	1100	1110	0111	11111
6	0110	0101	1101	1010	0101	11110
7	0111	0100	1111	1011	0100	11100
8	1000	1100	1110	1001	1100	11000
9	1001	1101	1010	1000	1000	10000
10	1010	1111	----	----	----	----
11	1011	1110	----	----	----	----
12	1100	1010	----	----	----	----
13	1101	1011	----	----	----	----
14	1110	1001	----	----	----	----
15	1111	1000	----	----	----	----

　　表中典型格雷碼具有代表性。若不作特別說明，格雷碼就是指典型格雷碼，它可從自然二進制碼轉換而來。

 

轉換方法

遞歸生成碼表

這種方法基於格雷碼是反射碼的事實，利用遞歸的如下規則來構造：

1. 1位格雷碼有兩個碼字
2. (n+1)位格雷碼中的前2 n個碼字等於n位格雷碼的碼字，按順序書寫，加前綴0
3. (n+1)位格雷碼中的后2n個碼字等於n位格雷碼的碼字，按逆序書寫，加前綴1
4. n+1位格雷碼的集合 = n位格雷碼集合(順序)加前綴0 + n位格雷碼集合(逆序)加前綴1

2位格雷碼	3位格雷碼	4位格雷碼	4位自然二進制碼
00 01 11 10	000 001 011 010 110 111 101 100	0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

 

異或轉換

二進制碼→格雷碼（編碼）：

此方法從對應的n位二進制碼字中直接得到n位格雷碼碼字，步驟如下：

1. 對n位二進制的碼字，從右到左，以0到n-1編號
2. 如果二進制碼字的第i位和i+1位相同，則對應的格雷碼的第i位為0，否則為1（當i+1=n時，二進制碼字的第n位被認為是0，即第n-1位不變）

公式表示：

   

（G：格雷碼，B：二進制碼）

例如：二進制碼0101，為4位數，所以其所轉為之格雷碼也必為4位數，因此可取轉成之二進位碼第五位為0，即0 b3 b2 b1 b0。

0 xor 0=0，所以g3=0

0 xor 1=1，所以g2=1

1 xor 0=1，所以g1=1

0 xor 1=1，所以g0=1

因此所轉換為之格雷碼為0111

 

其實，從上述格雷碼異或轉換的方法可以得到一個簡單易行的算法，例如，對於一個2進制比特不超過32位的整數x，它的格雷碼即可表示為 (x>>1)^x。

算法演示：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void print_bin(unsigned int value,char *tail); //打印一個數字的bit位

int main(int argc,char* argv[])
{
    unsigned int temp;
    for(unsigned int i=0;i<=15;i++)
    {
        printf("%-4d:",i);
        temp=(i>>1)^i;    //轉換代碼僅僅一行，很簡單
        print_bin(temp,"\n");
    }
    return 0;
}

void print_bin(unsigned int value,char* tail)
{
    for(int i=31;i>=0;i--)
    {
        printf("%d",(value>>i)&1);
    }
    if(tail)
    {
        printf("%s",tail);
    }
}

 

編譯運行結果：

root@javis:~/Documents/Code$ gcc test.c -std=c99 -o test.out
root@javis:~/Documents/Code$ ./test.out 
0   :00000000000000000000000000000000
1   :00000000000000000000000000000001
2   :00000000000000000000000000000011
3   :00000000000000000000000000000010
4   :00000000000000000000000000000110
5   :00000000000000000000000000000111
6   :00000000000000000000000000000101
7   :00000000000000000000000000000100
8   :00000000000000000000000000001100
9   :00000000000000000000000000001101
10  :00000000000000000000000000001111
11  :00000000000000000000000000001110
12  :00000000000000000000000000001010
13  :00000000000000000000000000001011
14  :00000000000000000000000000001001
15  :00000000000000000000000000001000