旅行推銷員問題（英語：Travelling salesman problem, TSP）是這樣一個問題：給定一系列城市和每對城市之間的距離，求解訪問每一座城市一次並回到起始城市的最短回路。它是組合優化中的一個NP困難問題，在運籌學和理論計算機科學中非常重要。
分支限界法在上一篇Blog中我有簡單說明，並給出了基於分支界限法的Dijkstra ，這篇文章里介紹一下基於分支限界法的TSP算法。
對於TSP，我們需要利用上界和下界來對BFS進行剪枝，通過不斷更新上界和下界，盡可能的排除不符合需求的child，以實現剪枝。最終，當上限和下限等同時，我們可以獲得最優的BFS解，以解決TSP問題。
在第一篇中，我們用dfs獲取上界，用每行矩陣最小值來獲取下界。
代碼如下，下面代碼中，我采用貪心法（使用DFS暴力搜索到一個結果）來獲取最初的上界，通過累加每行旅行商矩陣中的最小值來獲取一個下界。
//分支限界法 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<queue> const int INF = 100000; const int MAX_N = 22; using namespace std; //n*n的一個矩陣 int n; int cost[MAX_N][MAX_N];//最少3個點，最多MAX_N個點 struct Node { bool visited[MAX_N];//標記哪些點走了 int s;//第一個點 int s_p;//第一個點的鄰接點 int e;//最后一個點 int e_p;//最后一個點的鄰接點 int k;//走過的點數 int sumv;//經過路徑的距離 int lb;//目標函數的值（目標結果） bool operator <(const Node &p)const { return p.lb < lb;//目標函數值小的先出隊列 } }; priority_queue<Node> pq;//創建一個優先隊列 int low, up;//下界和上界 bool dfs_visited[MAX_N];//在dfs過程中搜索過 //確定上界,利用dfs（屬於貪心算法），貪心法的結果是一個大於實際值的估測結果 int dfs(int u, int k, int l)//當前節點，目標節點，已經消耗的路徑 { if (k == n) return l + cost[u][1];//如果已經檢查了n個節點，則直接返回路徑消耗+第n個節點回歸起點的消耗 int minlen = INF, p; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!dfs_visited[i] && minlen > cost[u][i])//取與所有點的連邊中最小的邊 { minlen = cost[u][i];//找出對於每一個節點，其可達節點中最近的節點 p = i; } } dfs_visited[p] = true;//以p為下一個節點繼續搜索 return dfs(p, k + 1, l + minlen); } void get_up() { dfs_visited[1] = true;//以第一個點作為起點 up = dfs(1, 1, 0); } //用這種簡單粗暴的方法獲取必定小於結果的一個值 void get_low() { //取每行最小值之和作為下界 low = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { //創建一個等同於map的臨時數組，可用memcpy int tmpA[MAX_N]; for (int j = 1; j <= n; j++) { tmpA[j] = cost[i][j]; } sort(tmpA + 1, tmpA + 1 + n);//對臨時的數組進行排序 low += tmpA[1]; } } int get_lb(Node p) { int ret = p.sumv * 2;//路徑上的點的距離的二倍 int min1 = INF, min2 = INF;//起點和終點連出來的邊 for (int i = 1; i <= n; i++) { //cout << p.visited[i] << endl; if (!p.visited[i] && min1 > cost[i][p.s]) { min1 = cost[i][p.s]; } //cout << min1 << endl; } ret += min1; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!p.visited[i] && min2 > cost[p.e][i]) { min2 = cost[p.e][i]; } //cout << min2 << endl; } ret += min2; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!p.visited[i]) { min1 = min2 = INF; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (min1 > cost[i][j]) min1 = cost[i][j]; } for (int j = 1; j <= n; j++) { if (min2 > cost[j][i]) min2 = cost[j][i]; } ret += min1 + min2; } } return (ret + 1) / 2; } int solve() { //貪心法確定上界 get_up(); //取每行最小的邊之和作為下界 //cout << up << endl;//test get_low(); //cout << low << endl;//test //設置初始點,默認從1開始 Node star; star.s = 1;//起點為1 star.e = 1;//終點為1 star.k = 1;//走過了1個點 for (int i = 1; i <= n; i++) { star.visited[i] = false; } star.visited[1] = true; star.sumv = 0;//經過的路徑距離初始化 star.lb = low;//讓目標值先等於下界 int ret = INF;//ret為問題的解 pq.push(star);//將起點加入隊列 while (pq.size()) { Node tmp = pq.top();pq.pop(); if (tmp.k == n - 1)//如果已經走過了n-1個點 { //找最后一個沒有走的點 int p; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!tmp.visited[i]) { p = i;//讓沒有走的那個點為最后點能走的點 break; } } int ans = tmp.sumv + cost[p][tmp.s] + cost[tmp.e][p];//已消耗+回到開始消耗+走到P的消耗 //如果當前的路徑和比所有的目標函數值都小則跳出 if (ans <= tmp.lb) { ret = min(ans, ret); break; } //否則繼續求其他可能的路徑和，並更新上界 else { up = min(up, ans);//上界更新為更接近目標的ans值 ret = min(ret, ans); continue; } } //當前點可以向下擴展的點入優先級隊列 Node next; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!tmp.visited[i]) { //cout << "test" << endl; next.s = tmp.s;//沿着tmp走到next，起點不變 next.sumv = tmp.sumv + cost[tmp.e][i];//更新路徑和 next.e = i;//更新最后一個點 next.k = tmp.k + 1;//更新走過的頂點數 for (int j = 1; j <= n; j++) next.visited[j] = tmp.visited[j];//tmp經過的點也是next經過的點 next.visited[i] = true;//自然也要更新當前點 //cout << next.visited[i] << endl; next.lb = get_lb(next);//求目標函數 //cout << next.lb << endl; if (next.lb > up) continue;//如果大於上界就不加入隊列 pq.push(next);//否則加入隊列 //cout << "test" << endl; } } //cout << pq.size() << endl;BUG:測試為0 } return ret; } int main() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { cin >> cost[i][j]; if (i == j) { cost[i][j] = INF; } } } cout << solve() << endl; return 0; } /*測試 5 100000 5 61 34 12 57 100000 43 20 7 39 42 100000 8 21 6 50 42 100000 8 41 26 10 35 100000 36 請按任意鍵繼續. . . */