本文基於前兩篇 1. 多層感知機及其BP算法（Multi-Layer Perceptron） 與 2. 遞歸神經網絡（Recurrent Neural Networks，RNN）
RNN 有一個致命的缺陷，傳統的 MLP 也有這個缺陷，看這個缺陷之前，先祭出 RNN 的 反向傳導公式與 MLP 的反向傳導公式：
\[RNN : \ \delta_h^t = f'(a_h^t) \left (\sum_k\delta_k^tw_{hk} + \sum_{h'} \delta^{t+1}_{h'}w_{hh'} \right )\]
\[MLP : \ \delta_h = f'(a_h) \sum_{h'=1}^{h_{l+1}} w_{hh'}\delta_{h'}\]
注意，殘差在時間維度上反向傳遞時，每經過一個時刻，就會導致信號的大幅度衰減，為啥呢，就是因為這個非線性激活函數 $f$ ，一般這個函數的形狀如下圖：
如上圖所示，激活函數 $f$ 在在紅線以外的斜度變化很小，所以函數 $f$ 的導數 $f'$ 取值很小，而經過以上列出的殘差反向傳遞公式可以得出，每經過一個時刻，衰減 $f'$ 的數量級，所以經過多個時刻會導致時間維度上梯度呈指數級的衰減，即此刻的反饋信號不能影響太遙遠的過去 。在 MLP 中，如果網絡太深，這種梯度衰減會導致網絡的前幾層的殘差趨近於 0 ，這意味着前面的隱藏層中的神經元學習速度要慢於后面的隱藏層。無論 RNN 還是 MLP ，對參數的導數都是這種形式（RNN需要在時間維度上求和）：
\[\frac{\partial O}{\partial w_{ij}} = \frac{\partial O}{\partial a_{j}} \frac{\partial a_j}{\partial w_{ij}} = \delta_jb_i\]
殘差衰減的太小導致參數的導數太小 ，從而梯度下降法中前幾層的參數只有微乎其微的變化，對於深層的 MLP 由於梯度衰減導致效果不如淺層的網絡，對於 RNN 就會導致不能處理長期依賴的問題，雖然 RNN 理論上可以處理任意長度的序列，但實習應用中，RNN 很難處理長度超過 10 的序列。這種現象叫做 gradient vanishing/exploding 。下圖形象的描繪了這種現象：
對於 $t=1$ 的輸入，隨着時間的推移，對於 $t >1$ 時刻的產生的影響會越來越小，由圖中的顏色的深淺代表信號的大小。這種衰減會導致 RNN 無法處理長期依賴，舉個例子，當有一句話“I grew up in France … I speak fluent French.” 在預測該人會將一口流利的 語時，會依賴之前他的長大的環境，而序列中兩個詞語的間隔太大，這便是所說的長期依賴問題。
對於長期以來問題，反向傳播時，梯度也會呈指數倍數的衰減，這種衰減現象導致 RNN 無法處理長期依賴，為了克服 RNN 的這種缺陷，學者們研究了眾多方法，其中 Long Short-Term Memory 表現最為出色。使用 LSTM 模塊后，當誤差從輸出層反向傳播回來時，可以使用模塊的記憶元記下來。所以 LSTM 可以記住比較長時間內的信息。
初始的 LSTM （Hochreiter and Schmidhuber ，1997）網絡結構類似於 RNN ，只是把 RNN 的隱層換成了存儲塊（memeory block），如下圖左所示， memory block 中用記憶單元 （memory cell）來保存信息（類似於 RNN 中的隱藏節點），，每個存儲塊包含一個或多個memory cell ，如下圖左中間的 “$\oslash$” 節點如下圖所示，藍色虛線為一條遞歸自連接的權值為 1 的邊，保證梯度沿時間傳播時不會損失，在時刻 $t$ 的輸入如下圖的 $g^t$ 所示，除接受本時刻的輸入 $x^t$ 外，還接受上一時刻的輸出 $h^{t-1}$ ,並且經過非線性激活函數 $\sigma$ ，LSTM 並不是接納所有輸入 $g^t$ ，而是在網絡中加入兩個門，輸入門（input gate）、輸出門（output gate）， 門的節點數目與 memory cell 一一對應， input gate 如下圖的 $i^t$ 所示，跟輸入層一樣，接受 $x^t$ 與 $h^{t-1}$ ，經過 $\sigma$ 后產生一個 0-1 向量（維度即為 memory cell 或者 input gate 的維度），0 代表關閉 、1 代表開啟，這樣來對輸入進行控制，下圖左中的 “$\prod$ ” 表示 input gate 的輸出 $i^t$ 與本時刻輸入 $g^t$ 的輸出逐元素相乘，即 input gate 會對輸入進行過濾 ，然后存放到 memory cell 里，現在memory cell 里既有上一時刻 $t-1$ 的狀態，又添加了時刻 $t$ 的狀態， 即
\[s^t = g^t \odot i^t + s^{t-1}\]
memory cell 有一個循環自連接的權值為 1 的邊，這樣 memory cell state 中梯度沿時間傳播時不會導致不會 vanishing 或者 exploding ，output gate 類似於 input gate 會產生一個 0-1 向量來控制 memory cell 到輸出層的輸出。即
\[ v^t = s^t \odot o^t \]
后來為了增強 LSTM 的處理能力， Gers et al. [2000] 引入了 forget gate， LSTM 的網絡結構變成了如上圖右所示，也就是說 forget gate 取代了之前權值為 1 的邊，經過這樣的改進，memory cell 可以遺忘之前的內容，只需將 memory cell 中的內容與 forget gate 逐元素相乘即可， forget gate 與 input/output gate 一樣，接受 $x^t$ 與 $h^{t-1}$ 作為輸入，現在的 LSTM memory cell 的更新公式為：
\[s^t = g^t \odot i^t + f^t \odot s^{t-1}\]
Gers & Schmidhuber [2000] 在以上結構的基礎上又提出了 peephole connections ，將 $t-1$ 時刻沒有經過 output gate 處理過的 memory cell 狀態送到時刻 $t$ 作為 input gate 和 output gate 的輸入，即三個門的輸入增加了了 $s^ {t-1}$ ，現在流行的網絡結構如下圖所示：
三個門協作使得 LSTM 存儲塊可以存取長期信息，比如說只要輸入門保持關閉，記憶單元的信息就不會被之后時刻的輸入所覆蓋。下圖形象的描述了這個過程，在 Hidden Layer 中每個節點都是一個 memeory block ，每個 memeory block 的包含三個門，左邊為 forget gate ，下邊尾 input gate ，上邊為 output gate ，門有打開關閉兩種狀態，分別由 "$\bigcirc $" 與 "$-$" 來表示。可見對於時刻 1 的輸入，只要之后時刻的 input gate 保持關閉，forget gate 保持打開，便可以在不影響 memory cell 的情況下隨時開啟 output gate 來獲得 memory cell 的內容。對於梯度反向傳播時，同樣可以通過這種方式來保持殘差不會過度衰減。
接下來本文所涉及的將是詳細 LSTM 的 BP 過程，網絡結構采用的是 Gers & Schmidhuber [2000]所提出的 LSTM 結構，值得注意的是，這里對 memory cell 的輸出增加了激活函數 $h$ , 之前的 $h$ 可以理解為線性的，這里先聲明一些符號表示: $w_{ij}$ 表示 單元 $i$ 到單元 $j$ 的權值，$a_j^t$ 表示時刻 $t$ 單元 $j$ 的輸入，$b_j^t = f(a_j^t)$ 表示對單元 $j$ 的輸入做非線性映射，$\iota$ 、 $\phi$ 、 $\omega$ 分別代表 input gate 、forget gate、 output gate ，$C$ 用來表示 memroy cell 的數量， $s^t_c$ 表示 memeory cell $c$ 在時刻 $t$ 的狀態， $f$ 表示門的激活函數（通常為 $sigmod$ 函數）， $g$ 與 $h$ 分別表示 memory cell 輸入與輸出的激活函數，用 $I$ 表示輸入層大小， $H$ 表示隱層 memory cell 的大小（其實 $H = C$，這里只是為了方便表示，因為 memory cell 的輸出 $b_h^t$ 會往下個時刻傳輸,其權值可表示為 $w_{h.}$ , memrory cell 本身的權值可用 $w_ {c.}$ 來表示） ， $K$ 表示輸出層的大小。 待序列為 $t = 1...T$ ，時刻 $t$ 的輸入為 $x^t$ ，注意 $b^0 = 0$ ， 殘差 $\delta ^{T+1} = 0$ 。
- forget gate : 在 LSTM 的 memory block 中，只有上一時刻 memory cell 的輸出 $ b_h^t$ 會傳送到本單元 ，其他數據比如 memory cell state 或者 memory cell input 等只在單元內部可見，forget gate 是用來控制上個時刻的 memory cell state 即 $s^{t-1}$ ：
\[a^t_{\phi } = \sum_iw_{i \phi } x_i^t + \sum_hw_{h \phi}b_{h}^{t-1}+ \sum_cw_{c\phi}s_c^{t-1} \]
\[b_{\phi }^t = f(a_{\phi}^t)\]
- input gate : 這個門控制當前時刻 memory cell state 的輸入：
\[a^t_{\iota } = \sum_iw_{i \iota } x_i^t + \sum_hw_{h \iota}b_{h}^{t-1}+ \sum_cw_{c\iota}s_c^{t-1} \]
\[b_{\iota }^t = f(a_{\iota}^t)\]
- memory cell : 對於時刻 $t-1 \rightarrow t$ ， memroy cell 的信息是這樣變化的 ，首先對 $t-1$ 時刻 memory cell 的狀態用 forget gate 進行過濾（$b_{\phi}^t s_c^{t-1}$），看要遺忘或者保存哪些信息，然后獲取現在時刻 $t$ 的輸入信息（$g(a_c^t)$），用 input gate 進行過濾 （$b_{\iota }^tg(a_c^t)$），過濾完后相加就完成了$t-1 \rightarrow t$ 時刻的 memory cell 狀態的轉變 ：
\[a^t_c = \sum_i w_{ic} x_i^t + \sum_h w_{hc}b_{h}^{t-1} \]
\[s_c^t = b_{\phi}^t s_c^{t-1} + b_{\iota }^tg(a_c^t)\]
- output gate : 這個門會控制 cell state 的輸出：
\[a^t_{\omega } = \sum_iw_{i \omega } x_i^t + \sum_hw_{h \omega }b_{h}^{t-1}+ \sum_cw_{c\omega }s_c^{t} \]
\[b_{\omega }^t = f(a_{\omega }^t)\]
- memory cell output : 計算 memory cell 的輸出 ，由 output gate 控制,這個輸出也會作為下一時刻整個 memory block 的輸入（類似於 RNN 的隱層傳遞）
\[b_c^t = b_{\omega}^t h(s_c^t)\]
接下來便是殘差的反向傳導，對於輸出層，同 RNN 一般是 $softmax$ 或者 $logistic$ ,這里首先定義：
\[\epsilon_c^t=\frac{\partial O}{\partial b_c^t}=\sum_k\frac{\partial O}{\partial a_k^t} \frac{\partial a_k^t}{\partial b_c^t}+\sum_{h}\frac{\partial O}{\partial a_h^t} \frac{\partial a_h^t}{\partial b_c^t}=\sum_{k} w_{ck}\delta_k^t+\sum_hw_{ch}\delta_h^{t+1} \]
接下來，殘差傳導至 output gate ：
\[\delta_\omega^t=\frac{\partial O}{\partial a_\omega^t}=\sum_c \frac{\partial O}{\partial b_c^t}\frac{\partial b_c^t}{\partial b_\omega^t}\frac{\partial b_\omega^t}{\partial a_\omega^t} =f'(a_\omega^t)\sum_c \epsilon_c^t h(s_c^t) \]
現在再定義一個輔助變量：
\[\epsilon_s^t=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_c^t}
=\frac{\partial O}{\partial b_c^t} \frac{\partial b_c^t}{\partial h(s_c^t)} \frac{\partial h(s_c^t)}{\partial s_c^t}
+\frac{\partial O}{\partial s_c^{t+1}} \frac{\partial s_c^{t+1}}{\partial s_c^t}
+\frac{\partial O}{\partial a_\omega^t} \frac{\partial a_\omega^t}{\partial s_c^t}
+\frac{\partial O}{\partial a_\iota^t} \frac{\partial a_\iota^t}{\partial s_c^t}
+\frac{\partial O}{\partial a_\phi^t} \frac{\partial a_\phi^t}{\partial s_c^t} \Rightarrow\]
\[\epsilon_s^t=b_w^th'(s_c^t)\epsilon_c^t+b_\phi^{t+1}\epsilon_s^{t+1}+w_{c\omega}\delta_\omega^t+w_{c\iota}\delta_\iota^{t+1} +w_{c\phi}\delta_\phi^{t+1}\]
這就是 bp 中最復雜的公式了，依次解釋下各項。首先，看memory block的圖，查看該單元指向輸出單元的所有路徑，沒有一條不同的路徑就代表一項；然后運用鏈式法則展開每個路徑；就得到后向傳播中該單元的梯度$\delta$。這個輔助變量中可以看到后三項來自於cell state 對三個 gate 的監督，即 peephole ，所以若不采用 peephole 的方式就可以省略。第二項來自於下一時刻的狀態誤差，其實是 forget gate 對當前狀態的調節作用。
接下來誤差傳播到 memory cell ：
\[\delta_c^t =\frac{\partial O}{\partial a_c^t}=\frac{\partial O}{\partial s_c^t}\frac{\partial s_c^t}{\partial g(a_c^t)}\frac{\partial g(a_c^t)}{\partial a_c^t}=\epsilon_c^t b_\iota^t g'(a_c^t)\]
最后分別傳導至 forget gate $\phi$ 與 輸入門 $\iota$：
\[\delta_\phi^t =\frac{\partial O}{\partial a_\phi^t}=\sum_c\frac{\partial O}{\partial s_c^t}\frac{\partial s_c^t}{\partial b_\phi^t}\frac{\partial b_\phi^t}{\partial a_\phi^t}=f'(a_\phi^t)\sum_c s_c^{t-1}\epsilon_s^t \]
\[\delta_\iota^t =\frac{\partial O}{\partial a_\iota^t}=\sum_c\frac{\partial O}{\partial s_c^t}\frac{\partial s_c^t}{\partial b_\iota^t}\frac{\partial b_\iota^t}{\partial a_\iota^t}=f'(a_\iota^t)\sum_c g(a_c^{t-1})\epsilon_s^t\]
殘差傳導完成后，直接用殘差對權重 $w_{ij}$ 進行求導即可 （這里 $b_i^t$ 可代表輸入 $x_i^t$、$b_h^{t-1}$、$s_c^{t-1}$）:
\[\frac{\partial O}{\partial w_{ij}} = \sum_t \frac{\partial O}{\partial a_j^t}\frac{\partial a_j^t}{\partial w_{ij}} = \sum_t \delta_j^tb_i^t\]
參考：http://colah.github.io/posts/2015-08-Understanding-LSTMs/
Supervised Sequence Labelling with Recurrent Neural Networks
http://ethancao.cn/2015/12/07/learning-LSTM.html