高等代數研究的主要對象是線性空間,數域$\mathbb{F}$上所有次數小於等於$n-1$的一元多項式構成一個線性空間，記為$V=\mathbb{F}[x]_{n}$,那么顯然$\dim V=n$，並且容易知道已有一組基為$$1,x,x^{2},\dots,x^{n-1}$$
事實上,按照線性空間基的定義容易驗證還有基$$1,(x-a),(x-a)^{2},\dots,(x-a)^{n-1}$$與Lagerange插值基$$ g_{i}(x)=\frac{1}{x-x_{i}}\prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,\dots,n.$$
下面分享2015年四川大學高等代數考研試題中的一題，利用Lagerange插值基函數將變得十分巧妙.
設$V$是數域 $\mathbb{F}$上的$n$維線性空間，$T$是$V$上的線性變換，$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\in \mathbb{F}$互不相同，且都不是$T$的特征值；$I$是$V$上的恆等變換.
- 證明：對每個$1 \le i \le n,T-\lambda_{i}I$都是$V$上的可逆線性變換.
- 證明：存在$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}\in \mathbb{F}$使得$$ \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}(T-\lambda_{k}I)^{-1}=I. $$
證明:1.對任意$i=1,2,...,n$,$T-\lambda_{i}$不可逆$\iff \left|T-\lambda_{i}\right|=0\iff \lambda_{i}$為$T$的特征值,而由題設條件可知,$\lambda_{i}$不是$T$的特征值,於是$T-\lambda_{i}$可逆.
2.令$$F(x)=\prod_{k=1}^{n}(x-\lambda_{k})$$因$T-\lambda_{i}$可逆,故$F(T)=\prod_{k=1}^{n}(T-\lambda_{k}I)$可逆,並且在$\mathbb{F}[x]_{n}$中,$$g_{i}(x)=\frac{1}{x-x_{i}}\prod_{j=1}^{n}(x-x_{j}),i=1,2,\dots,n$$是$\mathbb{F}[x]_{n}$的一組基，故$F(x)$可由其線性表出,即:存在$\alpha_{k}\in\mathbb{F}$使得
$$ F(x)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}g_{k}(x)$$
上式中的不定元$x$以變換$T$帶入仍然成立,即:
$$ F(T)=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}g_{k}(T)$$
兩邊同時作用$F(T)^{-1}$,有$$ \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}(T-\lambda_{k}I)^{-1}=I. $$
證畢.