第一題
假設有280g食鹽，有一架天平，有兩個砝碼，分別是14g,4g.請問能否在3次內將280g食鹽分為100g和180g兩堆，請詳細描述你的解決方法
解法一：
第一次：平分280g的食鹽：140g、140g
目前重物：食鹽：140g、140g，砝碼：4g、14g
第二次：平分140g的食鹽：70g、70g
目前重物：食鹽：70g、70g、140g，砝碼：4g、14g
我們再需要稱出30g的食鹽
如何根據上面的重物利用天平稱出30g的食鹽
稱了兩次兩個砝碼還都沒有用，同時14-4=10，所有兩個砝碼分布放在天平的兩側
第三次：天平左側：4g砝碼 + 40g食鹽，天平右側：14g砝碼+ 30g食鹽
目前重物：食鹽：30g、40g、70g、140g，砝碼：4g、14g
食鹽重量可組合成100g、180g
解法二：
第一次：4g砝碼+280g食鹽+天平，可以分成食鹽：142g、138g
目前重物：食鹽：138g、142g，砝碼：4g、14g
第二次：14g砝碼+142g食鹽+天平，稱出食鹽14g
目前重物：食鹽：14g、128g、138g，砝碼：4g、14g
第三次：天平左側：14g食鹽+14g砝碼 ，天平右側：28g食鹽
目前重物：食鹽：14g、28g、100g、138g，砝碼：4g、14g
食鹽重量可組合成100g、180g
解法三：
第一次：用14克砝碼得出14克鹽。
目前重物：食鹽：14g、266g
第二次:用14克砝碼和4克砝碼把266克鹽分為128克鹽和138克鹽。
目前重物：食鹽：14g、28g、138g、266g
第三次:14克砝碼和14克鹽從128克鹽中得到28克鹽，剩下100克鹽。
得到180克和100克兩堆食鹽.
來源：http://group.cnblogs.com/topic/39235.html
1.1 去除法
(1) 用 4g 砝碼，將 280g 鹽分為 142g 和 138g ； ( 得鹽： 138g ， 142g)
(2) 用 14g 砝碼，從 142g 鹽中稱出 14g 鹽，剩 128g 鹽； ( 得鹽： 14g ， 128g ， 138g)
(3) 用 14g 砝碼和 14g 鹽，從 128g 鹽中稱出 28g 鹽； ( 得鹽： 100g ， 14g ， 28g ， 138g)
或者，
(1) 用 4g 砝碼，將 280g 鹽分為 142g 和 138g ； ( 得鹽： 138g ， 142g)
(2) 用 4g 和 14g 砝碼，從 138g 鹽中稱出 10g 鹽，剩 128g 鹽； ( 得鹽： 10g ， 128g ， 142g)
(3) 用 4g 、 14g 砝碼和 10g 鹽，從 128g 鹽中稱出 28g 鹽； ( 得鹽： 100g ， 10g ， 28g ， 142g)
或者，
(1) 用 14g 砝碼稱 出 14g 鹽； ( 得鹽： 14g ， 266g)
(2) 用 14g 砝碼和 4g 砝碼 ，將 266g 鹽分為 128g 和 138g ； ( 得鹽： 14g ， 128g ， 138g)
(3) 用 14g 砝碼和 14g 鹽，從 128g 鹽中稱出 28g 鹽； ( 得鹽： 100g ， 14g ， 28g ， 138g)
還有其他的去除方法，例如。
(1) 280=140+140
(2) 140-4-14=122 ( 去 18g 鹽 )
(3) 122-4-18=100 (18g 鹽當作砝碼，去 22g 鹽 )
實質上，這些方法大同小異。
1.2 分解法
(1) 用 4g 砝碼，將 280g 鹽分為 142g 和 138g ； ( 得鹽： 138g ， 142g)
(2) 用 4g 和 14g 砝碼，將 142g 鹽分為 80g 和 62g ； ( 得鹽： 62g ， 80g ， 138g)
(3) 用 4g 砝碼，將 80g 鹽分為 42g 和 38g ； ( 得鹽： 38g ， 42g ， 62g ， 138g)
或者
(1) 將 280 克鹽通過天平 等分為 140g 和 140g ； ( 得鹽： 140g ， 140g)
(2) 將 140 克食鹽再 等 分 為 70g 和 70g ； ( 得鹽： 70g ， 70g ， 140g)
(3) 用 4g 和 14g 砝碼，將 70g 鹽分成 40g 和 30g ； ( 得鹽： 30g ， 40g ， 70g ， 140g)
或者
(1) 280=138+142
(2) 138=62+76
(3) 62=24+38 ( 得鹽： 24g, 38g ， 76g ， 142g)
本文其他部分將重點討論從數學和計算機的角度分析分解方法的解及其過程。
1.3 累加法
(1) 用 4g 和 14g 砝碼稱 18g 鹽； ( 得鹽： 18g ， 262g)
(2) 用 4g 、 14g 砝碼和 18g 鹽稱 36g 鹽； ( 得鹽： 18g ， 36g ， 226g)
(3) 用 14g 砝碼和 36g 鹽， 4g 砝碼，稱鹽 46g ； ( 得鹽： 18g ， 36g ， 46g ， 180g)
或者
(1) 用 4g 和 14g 砝碼稱 18g 鹽； ( 得鹽： 18g ， 262g)
(2) 用 14g 砝碼和 18g 鹽稱 32g 鹽； ( 得鹽： 18g ， 32g ， 230g)
(3) 用 18g 鹽和 32g 鹽稱 50g 鹽； ( 得鹽： 18g ， 32g ， 50g ， 180g)
來源：http://blog.csdn.net/livelylittlefish/article/details/6555347
第二題
如果天平兩端都允許放砝碼，並且假定所有的砝碼都是整數克。為了稱出從 1 克到 40 克 所有整數克 的物品，最少需要幾個砝碼？
最少需要 4 個砝碼，規格分別為 1 克、3 克、9 克和 27 克。《三的冪》
具體講解：http://www.guokr.com/article/3742/
http://www.docin.com/p-114694032.html
普通解法：
這實際上是找出4個自然數，將它們（全部，或一部分）進行加減運算后能夠得出1～40的問題。
首先是第一個數。自然是1。1＝1。
其次是第二個數。必須保證得到答案2。可以是2或3。
選2，則：2-1＝1，2＝2，2+1＝3。
選3，則：3-1＝2，3＝3，3+1＝4。
選3能夠得出更多的答案。選3以上的數，不能得出2。
其次是第三個數。以上已得到1～4，下一個數，必須保證得到答案5。可以是5～9。
選5，則：5-1＝1，5-3+1＝3，……，5+3+1＝9。
選9，則：9-3-1＝5，9-3＝6，……，9+3+1＝13。
選9能夠得出更多的答案。選9以上的數，不能得出5。
最后是第四個數。必須保證得到答案14。可以是14～27。
選14，則：14-1＝13，14＝14，……，14+9+3+1＝27。
……
選27，則：27-9-3-1＝14，……，27+9+3+1＝40。
選27能夠得出更多的答案。選27以上的數，不能得出14。
至此，已得出1～40，且所選的數為4個：1，3，9，27。
以上是小學生能夠理解的。
來源：http://yuxiaonananshan.blog.163.com/blog/static/53377533201147103651823/
第三題
現在有三種不同重量的標准砝碼1克、3克、9克。請問可以稱出多少不同物品的重量？在進行稱量時，要稱的東西與已知的標准砝碼可以任意地放在天平的兩盤之一。另外，每種砝碼都只有一只，而且不准復制。
根據上面的果殼的講解，1 3 9 都是三的冪，能夠稱出1 到 1 + 3 + 9 = 13的重物的質量
第四題
現有質量分別為9克和13克的砝碼若干只，在天平上要稱出質量為3克的物體，最少要用幾只這樣的砝碼．注意：是一次稱量
根據題意要求的是：9x - 13y= 3 或者13x - 9y=3時候的最小的 x+y的值
9x - 13y= 3 ，嘗試發現x=4 y=3時候是一個負解，對於13x - 9y=3就是一個正解x=3 y=4 x+y=7，這里已經是最小的了3個13g，4個9g砝碼
這個講解：
由於9克砝碼的總質量和13克砝碼的總質量的差必須等於3克，而9克砝碼的總質量肯定是3的倍數，所以13克砝碼的總質量也必須是3的倍數，那么13克砝碼的個數至少有3個．那么9克砝碼的總質量就至少是(13x3-3)/9=4個，一共是7個．
第五題
現有質量分別為5克和23克的砝碼若干只，在天平上要稱出質量為4克的物體，問至少要用多少只這樣的砝碼才能稱出？並證明你的結論。只稱一次
顯然求解的是 5x-23y=4 或者是 5x-23y=-4，x，y都是正整數
分析等式：5x值得個位數一定是0或者5。0或者5減去一個數后是4或者-4，則這個數的個位數一定是：4、6、1、9中的一個
也就是說：23y的個位數是：4、6、1、9中的一個
3y的個位數是：4、6、1、9，時候，y的取值的個位數可以是：8、2、7、3，排序后是：2、3、7、8
對23y，y的取整可以是：2、3、7、8、12、13、17、18、22、23、27、28。。。
y=2,23y=46,5x-46=+-4
x取值是10
x=10，y=2是最小的組合值
這里為什么先考慮的是23，由於23y這個值得個位數比較復雜，而5x值得個位數不是0就是5
第六題
一架天平有1克,2克,4克,8克的砝碼各一個,用這4個砝碼在天平上能稱出多少種不同重量的物體？
和第三題現在有三種不同重量的標准砝碼1克、3克、9克。請問可以稱出多少不同物品的重量？很類似
1;2;3=1+2;4;5=4+1;
6=4+2;7=4+2+1,8;9=8+1;10=8+2;
11=8+2+1;12=8+4;
13=8+4+1;14=8+4+2;15=8+4+2+1。
第七題
現在有質量分別為1g、2g、3g、4g、8g的砝碼各一枚.用這些砝碼在天平上共可稱出多少種不同的質量?
最佳答案
1g--18g都可以稱出來，也就是18種
1=1
2=2
3=3
4=4
5=1+4
6=2+4
7=3+7
8=8
9=1+8
10=2+8
11=3+8
12=4+8
13=1+4+8
14=2+4+8
15=3+4+8
16=1+3+4+8
17=2+3+4+8
18+1+2+3+4+8
第八題
如何制造個數最少的一些單位砝碼，如1克，2克，3克，4克，......，使用這些單位砝碼能夠稱出從1克到1000克之間的任何整數克重量的物體？
分析：1，3，9，27，81，243，729.
至少7個。
詳解見上面的果殼網站
來源：http://yuxiaonananshan.blog.163.com/blog/static/53377533201147103651823/