scatter diagram散點圖和線性關系

標簽（空格分隔）： 統計學；散點圖

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散點圖：散點圖（scatter diagram），在回歸分析中，數據點在直角坐標系平面上的分布圖。

• 散點圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢，據此可以選擇合適的函數對數據點進行擬合。
  用兩組數據構成多個坐標點，考察坐標點的分布，判斷兩變量之間是否存在某種關聯或總結坐標點的分布模式。
  散點圖將序列顯示為一組點。值由點在圖表中的位置表示。類別由圖表中的不同標記表示。散點圖通常用於比較跨類別的聚合數據。

• 散點圖主要是度量兩變量關系強弱的最直觀的圖形，雖然三維圖形也在起着類似的作用，但就直觀性上仍然不能取代二維圖的效果，不過在探索多維變量間關系上提供了非常好的視角，另外比較常用的是偵察相對回歸面的異常值，尤其具有可視化的優勢，不過個人認為這並不比二維圖更清晰。至於矩陣圖其本質上仍然是二維關系。

下面從不同的側重點來說明

1）探索數據主體模型

散點的相對疏離程度主要反映在相關系數上，其趨勢狀況是由回歸系數，或斜率來反映。散點分布信息如線性，非線性，提供了統計模型的多項式信息；而分布的長短對應數據或統計信息的大小。圖中顯示了線性、且第一組提供的信息更豐富一點（方差大）。 95%的預測區間，給出了數據的主體模型，及其可能存在異常值的觀測信息，如果兩變量s與j線性關系已經確定的話，那么符號圓點、加號兩組均有異常案例，其中圓點組有較多的異常。這對模型的預測效果將產生很大的影響。

2）探索模型殘差信息

第一組數據的離散性更大一點，預示着不同類型的異常信息，提示在建模時對這些觀測需多加小心，其中杠桿點最值得關注。
95%的預測區間和置信區間，給出了不同組模型的擬合效果，兩組數據比較相近，故置信區間有些重疊，至於模型殘差信息，以第一組為例，紅色箭頭指向的那個點和藍色箭頭指向的點，均是較強的杠桿點，但杠桿點所起的效應是否會破壞模型的有效性，需要視OLS估計的殘差而定，我們知道回歸參數標准誤來源於殘差等信息的計算（正向關系），因此紅色箭頭點將帶來的相對較大的殘差（相對第一組回歸線而言），如果這種信息超出了一定的規則，OLS估計將無效。
垂直特異性是另一個值得關注的異常信息，像第一組的數據（最下方的幾個圓點，包括紅色箭頭指向的點）可能帶來回歸截距的變化（當然回歸線兩邊分布點大致相當的話除外），如果數據點同時具有上述兩種特征，那么該數據點沒有理由不處理。

3）探索殘差的相對信息

矩陣圖或鑲有嵌板的圖，在觀測多變量或不同特征群組間的關系時，很方便。上面的兩幅圖提供的信息很類似，例如矩陣散點中，變量G與3個J均有不同數據點偏離的比較遠，這預示着在多維空間里，這些點的特殊性，不過這要結合更專業的殘差圖綜合分析，例如某殘差的權勢圖、穩健距離圖等等。