1 引子
在上一篇讀書筆記中，我們對書本中給出的例子進行詳細的分析。首先是搭出一個框架；然后填充初始化函數，在初始化函數中向OpenGL提供頂點信息（緩沖區對象）和頂點屬性信息（頂點數組對象），並啟用頂點數組對象；最后填充繪制函數，首先清空顏色緩存，然后調用glDrawArray來繪制基本圖形。例子中使用的坐標都是二維坐標，所以畫出來的圖形是二維圖形（這里是兩個三角形），而我們知道OpenGL最主要是用來進行三維圖形的渲染的，所以有必要在學習OpenGL相關API之前對三維變換做一個簡要的介紹。其實這一部分應該屬於紅寶書中第五章的內容，這里我們將其提前了，在讀書筆記（二）就拿出來介紹——這是我們三維渲染的最基本的知識點，也是最關鍵的知識點，理解起來也有一定的難度。本次讀書筆記主要講述平移、旋轉、縮放變換的變換矩陣，投影變換將在下一篇讀書筆記再做記錄。本篇讀書筆記主要是自己對一些數學概念的理解和記錄，僅供參考，如有不同理解的，大家可以一起討論哈！
2 點、坐標系與向量
討論三維變換之前，得先了解點、向量和坐標系這些基本數學概念。這部分內容可能比較抽象，下面記錄的是我對這些概念的一些理解。
2.1 位置的相對性
在日常生活中，我們在向別人描述一個陌生的地方的時候，通常會選擇一個他熟悉的地方作為一個參考點。例如：我們向老外介紹河北的一座古城邯鄲，老外知道北京，我們就會說邯鄲在北京往西南走300km；如果老外知道石家庄，那我們也可以告訴他，邯鄲在石家庄往南走100km。這說明，位置是一個相對的概念，要描述一個位置，首先要選擇參考點；參考點的選擇是任意的，所選取的參考點不同，位置的描述也就不同。
在幾何中，位置用“點”這一概念來描述，即點是一個只有位置沒有大小的量。描述一個點和描述一個位置是一回事，剛才已經說了位置是一個相對的概念，所以首先就要用到參考點。我們以最簡單的一維數軸為例來說明描述點的位置，如下圖所示：
對於數軸上同一點AA，要描述AA點的位置，先要選取任意一個參考點，如果選擇的參考點是O1O1，則AA點在O1O1點右邊l1l1的地方；如果選擇的參考點是O2O2，則AA點在O2O2點左邊l2l2的地方。通過數軸和參考點，我們就將數軸上的幾何點用抽象的數字表達出來了。
2.2 坐標系與向量
從圖上可以看出，數軸上的點只能沿着數軸方向進行變化，即它是一維的。如果點在一個平面上或一個空間中變化，那么數軸這一工具是無法描述的。這時就要引入二維坐標系和三維坐標系來描述點的位置。介紹坐標系之前，首先介紹一下向量的概念。
在我們還是十七八歲學習高一幾何的時候，我們就已經接觸到了向量——既有大小，又有方向的量，用一個有向線段來表示。說白了，向量定義了一個方向、一個長度和一個單位長度。如上圖中，O1AO1A和AO2AO2就是兩個向量，大小分別為l1l1和l2l2，方向為水平向右。
一個平面上，有無數這樣的向量。但是關於向量，有一個非常重要的法則——使用平行四邊形法則來對任何一個向量進行分解。平行四邊形法則來自於物理學中力的分解與合成，后被引入數學中加以抽象來描述向量的分解與合成。所謂平行四邊形法則，指的是任何一個平面向量都可以用一個不共線的兩個向量表示。於是，平面中無數的向量就可以用兩個不共線的向量來表示。由這兩個向量及它們的公共起點構成的數學結構就是二維坐標系，用坐標系就可以描述二維平面上的任意點，當然也可以描述二維平面上的任意向量，這兩個向量就是線性代數中的基向量。我們知道，在數學中，向量是位置無關的（即自由向量），只要大小相等，方向相同的兩個向量就是同一個向量（這和物理學中的力不一樣）。所以要描述二維空間中的點，還需要一個參考點，於是就定義了這兩個向量的公共起點作為參考點——即我們熟知的坐標原點。坐標軸向量和坐標原點就構成了坐標系，可以用坐標系來描述其中的任何向量和任一點。
三維坐標系和二維坐標系是類似的，使用兩次平行四邊形法則，從而將任意一個三維向量表示為三個不共面的三維向量(基向量)來表示，這三個向量移到一起的公共起點定義為三維坐標系的坐標原點。二維和三維笛卡爾坐標系就是基向量垂直的二維和三維坐標系，也是應用最為廣泛的坐標系，也稱為平面直角坐標系和空間直角坐標系。
下面，我們來看看向量的表示方法。同樣在我們懵懵懂懂的青春歲月里，我們就已經知道向量有兩種表示方法：第一種是符號表示法，如a,ba,b等；另一種是坐標表示法，這里對坐標表示做較詳細的說明。剛才已經說了，任意一個二維向量都可以用兩個不共線的向量來表示，假設兩個基向量為ii和jj，且長度為1。則對任一個向量a=xai+yaja=xai+yaj，這樣，向量aa可用一個有序對(xa,ya)(xa,ya)來唯一表示，這就是向量的坐標表示。三維乃至NN維向量的坐標表示都是一樣的。在這里，博主還是想強調一下，向量的坐標並不是該向量在坐標軸上的投影，只有笛卡爾坐標是向量在基向量上的投影。所以，在普通坐標系下，一個向量的坐標不是很好求，但在直角坐標系下，就變得很好求了——求投影，這也是笛卡爾坐標系應用的如此廣泛的原因。下面我們來看看，什么是投影，其實高一數學中也已經接觸到了，如下圖所示：
假設cc為向量aa在向量bb上的投影，那么：
所以，在二維直角坐標系中，如果二維向量aa長度為ll，該向量與xx軸和yy軸的夾角分別為αα和ββ，則我們很容易得到該向量的坐標表示為=(lcosα,lcosβ)T=(lcosα,lcosβ)T；同樣地，對三維空間向量bb，其長度為LL，與xx軸、yy軸和zz軸的夾角分別為αα、ββ和γγ，則其坐標表示為b=(Lcosα,Lcosβ,Lcosγ)Tb=(Lcosα,Lcosβ,Lcosγ)T。
2.3 點的表示
剛才我們定義了坐標系——坐標原點和三個不共面的向量組成，並且三維空間中的任意向量都可以由這三個向量唯一表示，但我們沒有講點怎么由坐標系來定義。設在三維笛卡爾坐標系中，坐標原點為OO，三個基向量分別為ii，jj，kk，我們要求PP點的坐標，那么
於是，點PP可以表示為
所以，要想表示一個三維的點，可以用四維坐標來表示，例如剛才的PP可以表示為P=(x1y1z11)P=(x1y1z11)，這就是齊次坐標。對頂點來說，齊次坐標才是其真正的表示方式。向量可以表示為v=(x1y1z10)v=(x1y1z10)。
3 線性變換與齊次坐標
3.1 概述
代數中的線性變換的概念很抽象，涉及到向量空間、線性映射之類的概念，在這里不做過多解釋，如下想了解可以度娘或必應。給一個通俗點的解釋，三維線性變換就是將點/向量的坐標值做一個運算，使其坐標值發生改變，這在幾何中的反映就是幾何體的形狀被改變了。在計算機圖形學中，線性變換一般是指平移、旋轉、縮放、投影（正交投影和透視投影）以及這些基本變換的綜合運算。通過剛才的描述，我們知道一下幾點信息：幾何中的點或向量由四個坐標值確定，而坐標值是由坐標系確定的，坐標系又是由三個不共面的向量和坐標原點構成。也就是說，對於同一點，在不同的坐標系下，描述它的坐標值是不一樣的，而變換就是建立這兩種不同描述之間的聯系——所以在以前我們稱之為坐標變換。例如：在坐標系O1−i1j1k1O1−i1j1k1坐標系下，某一點可以描述為PP點可以用四元祖(x1,y1,z1,o1)(x1,y1,z1,o1)描述，
在另一個坐標系為O2−i2j2k2O2−i2j2k2，可以用另一個有序元組描述它，設為(x2,y2,z2,o2)(x2,y2,z2,o2)
那么怎么建立(3)(3)和(2)(2)之間的聯系呢？還是之前我們說的，任意一個三維向量都可以表示用三個不共面的向量表示，所以i2,j2,k2i2,j2,k2可以用i1,j1,k1i1,j1,k1線性表出：
即：
於是，我們就可以寫出從(x1y1z1o1)T(x1y1z1o1)T變換到(x2y2z2o2)T(x2y2z2o2)T的變換表達式為：
其中，將
稱為坐標變換矩陣。接下來主要就是講解怎么求基本的坐標變換(仿射變換)矩陣。
3.2 縮放
縮放應該是所有線性變換中最簡單的變換了。執行縮放操作，例如將一個向量縮放為原來的ss倍，相當於原點不變，xx、yy、zz三個坐標軸縮放為原來的ss倍。根據3.1介紹的，縮放操作的變換矩陣為：
3.3 平移
所謂平移，就是在坐標系中的三個坐標軸保持不變，原點沿着平移向量移動到新位置。假設平移向量為vp=(xpypzp0)vp=(xpypzp0)同樣，根據可以得到，平移操作的變換矩陣為：
3.4 旋轉
最后來推導最難的旋轉變換矩陣。與平移、旋轉矩陣的不同，旋轉矩陣就不那么直觀了。下面，我們來具體看一下旋轉矩陣的推導，這個推導是執行三次向量的平行四邊形法則進行分解得到，整個分解過程如下圖所示：
三次分解由不同的顏色表示出來了，分別是紅色、淺藍色和紫色。
已知條件：ii、jj和kk是三維笛卡爾坐標系的基向量，原點為OO，旋轉軸為uu，也是單位向量，向量i′i′為xx方向的基向量ii繞旋轉軸uu旋轉θθ后的新向量——旋轉后坐標系xx軸的基向量。
我們的目的：將向量i′i′用基向量ii、jj和kk表示出來。
第一步向量分解：將i′i′分解為沿着旋轉軸uu的向量OA→OA→和垂直於uu的向量OB→OB→，則：
且：
第二步向量分解：將ii分解為沿着旋轉軸uu的向量OA→OA→和垂直於uu的向量OC→OC→，則
且：
第三步向量分解：建立OB→OB→與OC→OC→之間的聯系，將向量OB→OB→分解為沿着OC→OC→方向的向量OD→OD→和垂直於OB→OB→的向量OE→OE→，則
根據66可得：
另外，注意到OE→OE→和OC→OC→垂直，uu是旋轉軸，則uu與平面OEBDOEBD垂直，所以uu與OEOE垂直，則OE→OE→在向量uu和向量OC→OC→的叉乘向量上，假設 OF→=u×OC→OF→=u×OC→，於是：
所以現在求出kk就可以了，由叉乘定義：|OF→|=|u||OC→|sin(90)=|OC→|=|OB→||OF→|=|u||OC→|sin(90)=|OC→|=|OB→|，所以：k=sinθk=sinθ，最后得到
其余兩個變換后的基向量i′i′和j′j′也可以由ii、jj和kk表示出來，最終得到齊次旋轉矩陣為
4 總結
最后總結一下，在這篇博文中我們講述了點及其相對性，接着介紹了向量的概念，由平行四邊形法則引出坐標系的概念，然后介紹了點在坐標系下的表示，最后介紹了坐標變換和變換矩陣的概念，給出了三種基本變換——平移變換、旋轉變換和縮放變換的變換矩陣。這些矩陣綜合運用，就構成了三維空間中復雜的變換了，三維變換是三維圖形繪制的基礎，也是學習OpenGL時較難理解的知識點之一。