粒子濾波確實是一個挺復雜的東西，從接觸粒子濾波到現在半個多月，博主哦勒哇看了N多篇文章，查略了嗨多資料，很多內容都是看了又看，細細斟酌。今日，便在這里驗證一下自己的修煉成果，請各位英雄好漢多多指教。
講粒子濾波之前，還得先講一個叫”貝葉斯濾波”的東西，因為粒子濾波是建立在貝葉斯濾波的基礎上的哩。說太多抽象的東西也很難懂，以目標跟蹤為例，直接來看這東西是怎么回事吧：
1. 首先咋們建立一個動態系統，用來描述跟蹤目標在連續時間序列上的變換情況。簡單一點，我們就使用目標的位置(i,j)作為這個動態系統的狀態吧。
那怎么描述呢？
我們使用狀態xt來描述系統在時刻t的狀態，在這個例子中，xt=(it,jt)；使用yt表示在時刻t目標的觀測值。這里請注意，xt是我們建立的模型中，目標的位置，而目標的實際位置不一定與之相等。舉個簡單的例子就是：一部小車做勻加速直線運動，xt是我們用公式計算出來的小車的位置，yt是我們用GPS定位到的位置。
由於誤差的存在，光靠理論公式計算得出來的結果肯定是有偏差的。但是，GPS又卡又慢，要靠它來完成我們的目標跟蹤貌似也不是很靠譜。那我們做一下折衷吧，先用理論計算得到目標的位置，然后用觀測值進行修正，使得我們的模型更加完美。
額！完美嗎？不害臊！你理論得出來的不准確，然后還要靠又卡又慢的GPS來修正，還好意思跟我說完美！你怎么不上天，跟太陽肩並肩。再說了，你修正后的位置還不一定是准確了，要我說目標也可能就在計算到的位置，也可能在它東邊、西邊、南邊、北邊、東南邊......
咔咔咔！行行行，我錯了還不行么。你這人真是急躁，喝口茶消消氣，再聽我細細說來。前面那位大爺說的在理，咋們得聽，嗯，我猜他應該是太陽的后裔，哈哈哈！跑題了。
是啊！目標的位置可能在好多個位置，有各種可能性，畢竟我們並沒有得到一個准確的值。咦！那我們可以用概率來描述啊！這種不確定性不就是概率論里面說的那些東西嗎？天吶，我好激動，修煉多年的概率論終於派上用場了。而且你看哦，用觀測值yt對xt進行修正，這不就是說先得到先驗概率p(xt)，然后獲取到更加豐富的信息yt后，對先驗概率進行修正，得到后驗概率p(xt|yt)嗎？哇哇哇！貝葉斯，貝葉斯，這就是貝葉斯啊，條件概率啊！！！
2. 貝葉斯濾波
嗯嗯嗯，對對對，樓上正解。從貝葉斯理論的觀點來看，狀態估計問題(目標跟蹤，信號濾波)就是根據之前一系列已有數據y1:t(后驗只是)遞推計算出當前狀態xt的可信度。這個可信度就是概率公式p(xt|y1:t)。貝葉斯濾波通過預測和更新這兩個步驟來遞推計算xt的可信度。
預測過程是利用系統模型預測狀態xt的先驗概率密度，也就是通過已有的先驗知識對未來系統的狀態進行猜測，
更新過程是利用新的觀測值yt對先驗概率密度進行修正，得到后驗概率密度。
3. 公式及推導
貝葉斯濾波的公式是醬紫的：
預測：
更新：
在推導之前，一些預備知識還是要的。貝葉斯公式(就是條件概率公式啦)，全概率公式，樣本空間的概念和完備事件組的概念。這些知識對推導過程的理解尤為重要，建議各位先了解一下這些概念。
還要提一下，動態系統中的狀態轉移問題，一般都先假設其服從一階馬爾科夫(Markov)模型，即
①當前時刻的狀態xt只與上一時刻的狀態xt-1有關；
②t時刻的觀測值yt只與當前的狀態xt有關。
下面進行貝葉斯濾波公式的推導：
預測：
哈哈！博主比較懶，直接上圖了，字比較丑，見諒見諒。第一行是一個全概率公式的應用，然后第二第三第四行都是條件概率啦！最后一行是根據假設①來着。
這里你可能有一個問題，既然都說前時刻的狀態xt只與上一時刻的狀態xt-1有關，跟yt沒半毛錢關系，即p(xt|xt-1)。那你弄一個p(xt|y1:t-1)是幾個意思？
莫說你要問了，我當初可是也糾結了好久。說到底，這兩個概率公式含義不一樣。p(xt|xt-1)是純粹根據模型進行預測(計算)，啪，xt-1進去，公式一算，xt出來了，簡單明了。p(xt|y1:t-1)這一個呢，是說既然我們已經拿到了一組數據，這些數據跟系統狀態也是有關系的，那我們就可以根據這些數據來猜呀，只是猜測而已吶。（樓主yy：那... 你猜我猜不猜？）
更新：
第三行是根據假設②，其他的全都是條件概率公式的應用。
這里你應該跟我一樣，也還有一個問題，就是既然yt只與xt有關，那分母的p(yt|y1:t)為什么不直接寫成p(yt)啊！！！
關於這個問題，其實，我也不知道。要不你們也研究一下咯，然后拜托告訴我一聲。
However，當貝葉斯濾波碰到了粒子濾波，這些推導完全不重要。哈哈哈！就是說我們推了半天沒用，好想哭。。。
粒子濾波使用N個加權的樣本(即粒子)來近似表示后驗概率密度p(xt|y1:t)。因為有些問題系統狀態變換很難建模嘛，公式都沒有，xt沒法產生啊！所以就撒樣本唄，用樣本的分布來近似狀態xt的真實分布。
預知后事如何，請聽下回分解。