CCF系列之有趣的數(201312-4)

題目鏈接： http://115.28.138.223:81/view.page?opid=4

試題名稱： 有趣的數 

時間限制： 1.0s 

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問題描述： 問題描述

　　　　我們把一個數稱為有趣的，當且僅當：
　　　　1. 它的數字只包含0, 1, 2, 3，且這四個數字都出現過至少一次。
　　　　2. 所有的0都出現在所有的1之前，而所有的2都出現在所有的3之前。
　　　　3. 最高位數字不為0。
　　　　因此，符合我們定義的最小的有趣的數是2013。除此以外，4位的有趣的數還有兩個：2031和2301。
　　　　請計算恰好有n位的有趣的數的個數。由於答案可能非常大，只需要輸出答案除以1000000007的余數。
　　　　輸入格式
　　　　　　輸入只有一行，包括恰好一個正整數n (4 ≤ n ≤ 1000)。
　　　　輸出格式
　　　　　　輸出只有一行，包括恰好n 位的整數中有趣的數的個數除以1000000007的余數。
　　　　樣例輸入
　　　　　　4
　　　　樣例輸出

　　　　　　3 

解題思路:　

1. 在滿足題意的情況下，首位只能是2

　　　　最高位不為0，

　　　　如果最高位為1，則不滿足0在1之前，

　　　　最高位為3則不滿足2在3之前，

　　　　所以最高位只能為2.

　　2、在網上找了個動態規划的方法，研究了一晚上大概是這樣理解的：

　　　　前n步所有的最優解=前n-1步所有的最優解+第n步的最優解。

　　　　首先考慮0、1、2、3四位的方法，不考慮四位以上。

　　　　那么我可以把哪個數字放在首位呢？0？首位不能是0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1？那么0該放哪呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2。挺合適

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3？那么2該放哪呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我們獲得了第一步驟——放2，一個數字2

 

　　　　現在我們來接着第一步驟繼續：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我們現在成功放了2了，那么剩下0、1、3。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21？0該放哪里？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我們獲得了第二步驟——放0，兩個數字 2和0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以及第三步驟——放3，兩個數字 2和3

 

　　　　我們現在先研究第二步驟——放0，兩個數字 2和0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我們現在放了20了，那么剩下1、3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　201？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　203？也可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我們獲得了第四步驟——放1，三個數字 2 0 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以及第五步驟——放3 三個數字 2 0 3

 

　　　　我們現在來接着研究第三步驟：放3，兩個數字 2和3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　230？可以，這是第五步驟

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　231？0該放哪里？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以第三步驟可以和第五步驟建立聯系

 

　　　　我們最后研究第四步驟: 放1，三個數字 2 0 1 和 第五步驟：放3 三個數字 2 0 3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   2031?剛好放完四個數字

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我們獲得了第六步驟：四個數字0123放完====================================================================

　　總結：

　　　　第一步驟：2               剩余 0 1 3

　　　　第二步驟：2 0　　　　 剩余 1 3

　　　　第三步驟：2 3　　　　 剩余 0 1

　　　　第四步驟：2 0 1　　　 剩余 3

　　　　第五步驟：2 0 3　　　 剩余 1

　　　　第六步驟：2 0 3 1       剩余 無

　　流程圖如下：

　　　　　

　　根據動態規划的思想：

　　前n步所有的最優解=前n-1步所有的最優解+第n步的最優解。

　　　　　　首先，兩個動態增加的量，一個是數字的位數N，另一個是0、1、2、3中出現的個數（雖然要求都至少出現一次，但　　　是為了維護思想的完整性，所以從出現1個，2個。。。一直遞推到4個，額，好像1個、2個完了后，再有個3個就遞推到4　　　個了，算了，不要在意這些細節）。
　　　　　數字的位數從1增加到N沒有問題。
　　　　　關鍵我們來看看第二個增量。

　 狀態2和狀態3的最優解，依賴於狀態1；狀態4的最優解依賴於狀態2，狀態5的最優解依賴於狀態2和狀態3，狀態6的最優解，依賴於狀態4和狀態5.

3、根據狀態之間的轉化進行遞推：

建立一個二維數組a[N][6],橫坐標表示數位N，縱坐標表示剛才的6種狀態。

這樣的話：

a[ ][ 0 ]就是狀態一     // 2　　　　　 剩余 0 1 3

a[ ][ 1 ]就是狀態二　　// 2 0　　　　剩余 1 3

a[ ][ 2 ]就是狀態三　　// 2 3　　　　剩余 0 1

a[ ][ 3 ]就是狀態四　　// 2 0 1　　   剩余 3

a[ ][ 4 ]就是狀態五　　// 2 0 3　　　剩余 1

a[ ][ 5 ]就是狀態六　　// 2 0 1 3　　剩余 無

 

 

第i位出現第j種狀態的情況數表示為 a[i][j]      

i位數的來源在於（i-1）位數（已經按順序排列）+最后一位數字
例如：

　　a[i][0] = a[i-1][0] ;

　　　　　　使用過2 的情況可以由：   前i-1位使用2（狀態1），第i位使用2

 

　　a[i][1] = (a[i-1][0] + a[i-1][1] *2);
　　　　　　使用過 2 0 的情況可以由：前i-1位使用2（狀態1），第i位使用0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0（狀態2），第i位使用0或2  （順序正確）

　　　　 a[i][2] = (a[i-1][0] + a[i-1][2] );
　　　　　　　　  使用過 2 3 的情況可以由：前i-1位使用2（狀態1），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3（狀態3），第i位使用3  （因為已經有了3了不能用2了，只能用3） 

　　　　 a[i][3] = (a[i-1][1] + a[i-1][3] *2);
　　　　　　　　 使用過 2 0 1 的情況可以由：前i-1位使用2 0（狀態2），第i位使用1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  前i-1位使用2 0 1（狀態4），第i位使用1或2　（因為已經有了1了不能用0了，只能用1）

　　　　 a[i][4] = (a[i-1][1] + a[i-1][2] + a[i-1][4] *2);
　　　　　　　　 使用過 2 0 3 的情況可以由： 前i-1位使用2 0（狀態2），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3（狀態3），第i位使用0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0 3（狀態5），第i位使用0或3 （因為已經有了3了不能用2了，只能用3）
　　　　　　

　　　　 a[i][5] = (a[i-1][3] + a[i-1][4] + a[i-1][5] *2);
　　　　　　　　使用過2 3 0 1的情況可以由： 前i-1位使用2 0 1（狀態4），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0 3（狀態5），第i位使用1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3 0 1（狀態6），第i位使用1或3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（因為已經有了1了不能用0了，只能用1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（因為已經有了3了不能用2了，只能用3）

　　　　題目要求的答案為a[n][5],即0 1 2 3都使用過。

4.注意答案可能非常大，會爆int，應用long long。

　　由於答案可能非常大，只需要輸出答案除以1000000007的余數。

　　mod = 1000000007;

 1         a[0][0] = 1;
 2         for (int i = 1; i < N; i++) { 3 j = i - 1; 4 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod; 5 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod; 6 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod; 7 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod; 8 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod; 9 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod; 10  } 11 System.out.println(a[N - 1][5]); 

5.代碼如下（java）：

版本1（完全符合以上分析，好理解）：

 1 package ccf_text;
 2 
 3 import java.util.Scanner; 4 5 public class MainD2 { 6 public static void main(String[] args) { 7 Scanner in = new Scanner(System.in); 8 int N = in.nextInt(); 9 long a[][] = new long[N][6]; 10 int j = 0; 11 long mod = 1000000007; 12 // 2 13 // 2 0 14 // 2 3 15 // 2 0 1 16 // 2 0 3 17 // 2 0 1 3 18 a[0][0] = 1; 19 for (int i = 1; i < N; i++) { 20 j = i - 1; 21 a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod; 22 a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod; 23 a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod; 24 a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod; 25 a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod; 26 a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod; 27  } 28 System.out.println(a[N - 1][5]); 29  } 30 }

版本2（標准答案）：

package ccf_text2013_12;

import java.util.*;
/**
 * 我們把一個數稱為有趣的，當且僅當：
　　1. 它的數字只包含0, 1, 2, 3，且這四個數字都出現過至少一次。
　　2. 所有的0都出現在所有的1之前，而所有的2都出現在所有的3之前。
　　3. 最高位數字不為0。
　　因此，符合我們定義的最小的有趣的數是2013。除此以外，4位的有趣的數還有兩個：2031和2301。
　　請計算恰好有n位的有趣的數的個數。由於答案可能非常大，只需要輸出答案除以1000000007的余數。
 * @author Hello stranger
 *
 */
public class InterstingData {
    public static void main(String[] args) {
        new InterstingData().run();
    }

    public void run() {
        Scanner fin = new Scanner(System.in);

        int N = fin.nextInt();
        long[] count = new long[8];
        count[6] = 0;
        count[7] = 1;
        long mod = 1000000007;
        for (int i = 2; i <= N; ++i) {
            long[] newCount = new long[8];
            newCount[0] = (count[0] * 2 + count[1] + count[3]) % mod;
            newCount[1] = (count[1] * 2 + count[2] + count[5]) % mod;
            newCount[2] = (count[2] + count[6]) % mod;
            newCount[3] = (count[3] * 2 + count[4] + count[5]) % mod;
            newCount[4] = (count[4] + count[7]) % mod;
            newCount[5] = (count[5] * 2 + count[6] + count[7]) % mod;
            newCount[6] = 0;
            newCount[7] = 1;

            count = newCount;
        }

        System.out.println(count[0]);
    }
}

 

6.運行結果示例：