- 常見分布
- 正態分布：
- 標准正態分布：
- 對數正態分布：
- 均勻分布：
- 指數分布：
- 伽瑪分布：
，其中
分布：
- 設
是來自正態總體
的一個樣本，則
- 若
是來自標准正態分布的一樣樣本，則其平方和
服從自由度為n的
分布。 - 貝塔分布：
- t分布：
，t分布是正態總體的一個樣本
的樣本均值與樣本標准差的特定函數
。當自由度較大（如
）時，t分布可以用標准正態分布近似。 - F分布：設隨機變量
，且兩者獨立，則
的密度函數為
，此分布為自由度為n與m的F分布，記為
。
為自由度為n與m的F分布p分位數，有
-
分布特征數
- 特征數定義
分布的特征數刻畫分布的位置、散布、偏度、峰度。其中偏度與峰度都是描述分布形狀的特征數，他們都是以正態分布為基准。
- 數學期望：
。 - 方差：稱
為偏差，則偏差平方的數學期望
為隨機變量X（或相應分布）的方差，記為
。 - 標准差：方差的平方根稱為隨機變量X（或相應分布）的標准差，記為
或
。 -
變異系數：標准差與數學期望的比值，即
，變異系數是無單位的量。
-
偏度系數：
，偏度系數是描述分布偏離對稱性程度的一個特征數。
稱分布為正偏或右偏，
稱分布為負偏或左偏，
分布關於
是對稱的。
-
峰度系數：
，峰度是描述分布尖峭程度和尾部粗細的一個特征數，是相對與正態分布而言的超出量。
- 常見分布的特征數
分布 |
均值 |
方差 |
偏度 |
峰度 |
均勻分布 |
|
|
0 |
-1.2 |
正態分布 |
|
|
0 |
0 |
指數分布 |
|
|
2 |
6 |
伽瑪分布 |
|
|
|
|
- 假設檢驗
根據所獲樣本，運用統計分析方法對總體X的某種假設
做出判斷，具體包含建立假設，尋找檢驗統計量，構造拒絕域，直到最后做出判斷四個步驟。
- 建立假設
一般假設檢驗問題需要建設兩個假設：原假設與備擇假設。假設全網客戶Arpu服從正態分布
，需要檢測全網客戶平均Arpu是否為40，則可建立以下兩個假設：
原假設 
備擇假設 
（雙側檢驗問題）
某些情況下，Arpu允許過高不得過低或允許過低不得過高，則可建立以下兩對假設：
原假設 
備擇假設 
（單側檢驗問題）
原假設 
備擇假設 
（單側檢驗問題）
- 選擇檢驗統計量
為樣本的Arpu均值，那么在原假設為真的情況下，經標准化變化可得
這里的u就是檢驗統計量，分子的絕對值是樣本均值與總體均值之間的距離，其大小表征系統誤差大小，分母是隨機誤差大小，兩者比值表征系統誤差是隨機誤差的倍數。可見若u的絕對值越大，系統誤差越大，這是應傾向於拒絕
；相反則傾向於不拒絕
。即是尋找臨界值c，使得：
當
，拒絕
；
當
，不拒絕
。
則稱
為該雙側檢驗問題的拒絕域，記為W。臨界值c的確定將用控制犯錯誤概率確定。
- 根據顯著性水平
，確定臨界值
在假設檢驗中可能犯的錯誤有如下兩類：
第I類錯誤（拒真）：原假設為真，由於抽樣隨機性，樣本落在拒絕域，從而導致拒絕原假設，其發生概率記為
，又稱為顯著性水平。
第Ⅱ類錯誤（取偽）：原假設不真，單由於抽樣隨機性，樣本未落在拒絕域，從而導致接受原假設，其發生概率為
。
由此可見，
=P（犯第I類錯誤）=P（
為真時拒絕
）。
這個概率是
成立下，計算拒絕域
的概率，此時
，則：
，其中
為標准正態分布函數，由上式知，
是c的嚴減函數，即
越小，拒絕域越小。
一般理論研究表明：隨着
的減小，
在增加；隨着樣本量的增加，
與
在減小。
- P值判斷
一個假設檢驗問題中不同的顯著性水平會導致不同的結論，而顯著性水平的選擇又帶有人為因素，因此提出"p值"的概念，即：在一個假設檢驗問題中，拒絕原假設的最小顯著性水平稱為p值。
若
值，則拒絕原假設；若
值，則接受原假設。
-
卡方擬合優度檢驗（
檢驗）
- 定義
檢驗需要將總體分類為有限類，檢驗結論依賴於分組，不同分組有可能得出不同的結論，故在
檢驗在連續分布場合有一定的不足之處。
將總體分為有限類（分組經驗公式
，n為樣本量)，每類中的觀察頻數為
，根據原假設每類中的期望頻數為
，則
為
檢驗的檢驗統計量。當n充分大時，
近似服從自由度為
的
分布，其中
為分類組數，
為假設分布的未知參數個數。對於顯著性水平
，拒絕域為
。
每類中的期望頻數
不應過小，建議取
。
- 列聯表的獨立性檢驗
檢驗可應用於檢驗兩個分類隨機變量之間的獨立性。
X |
行和 |
|||||
|
|
… |
|
|||
Y |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
||
|
|
|
… |
|
|
|
列和 |
|
|
… |
|
n |
|
X與Y獨立時，對一切的i和j有
，因此假設檢驗為：
原假設 
備擇假設 
至少有一對i，j，使得
，其拒絕域為
，其中
，這里仍然要求
。