B樹詳解

B樹

具體講解之前，有一點，再次強調下：B-樹，即為B樹。因為B樹的原英文名稱為B-tree，而國內很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實，這是個非常不好的直譯，很容易讓人產生誤解。如人們可能會以為B-樹是一種樹，而B樹又是一種一種樹。而事實上是，B-tree就是指的B樹。特此說明。

我們知道，B 樹是為了磁盤或其它存儲設備而設計的一種多叉（下面你會看到，相對於二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查找樹。與本blog之前介紹的紅黑樹很相似，但在降低磁盤I/0操作方面要更好一些。許多數據庫系統都一般使用B樹或者B樹的各種變形結構，如下文即將要介紹的B+樹，B*樹來存儲信息。

 B樹與紅黑樹最大的不同在於，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什么又說B樹與紅黑樹很相似呢?因為與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的B樹的高度也為O（lgn），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以，B樹可以在O（logn）時間內，實現各種如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操作。

如下圖所示，即是一棵B樹，一棵關鍵字為英語中輔音字母的B樹，現在要從樹種查找字母R（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1]個子女（也就是說，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那么x將含有n[x]+1個子女）。所有的葉結點都處於相同的深度，帶陰影的結點為查找字母R時要檢查的結點）：

 

相信，從上圖你能輕易的看到，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那么x將含有n[x]+1個子女。如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。

 

B 樹又叫平衡多路查找樹。一棵m階的B 樹 (m叉樹)的特性如下：

1. 樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
2. 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
3. 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
4. 所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都為null)；（讀者反饋@冷岳：這里有錯，葉子節點只是沒有孩子和指向孩子的指針，這些節點也存在，也有元素。@JULY：其實，關鍵是把什么當做葉子結點，因為如紅黑樹中，每一個NULL指針即當做葉子結點，只是沒畫出來而已）。
5. 每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
          a)   Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。 
          b)   Pi為指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。 
          c)   關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下圖所示：

    針對上面第5點，再闡述下：B樹中每一個結點能包含的關鍵字（如之前上面的D H和Q T X）數有一個上界和下界。這個下界可以用一個稱作B樹的最小度數（算法導論中文版上譯作度數，最小度數即內節點中節點最小孩子數目）t（t>=2）表示。

• 每個非根的結點必須至少含有t-1個關鍵字。每個非根的內結點至少有t個子女。如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字；
• 每個結點可包含之多2t-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2t個子女。如果一個結點恰好有2t-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍后介紹的B*樹作為B樹的一種常用變形，B*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這里的B樹所要求的至少半滿）；
• 當關鍵字數t=2（t=2的意思是，tmin=2，t可以>=2）時的B樹是最簡單的（有很多人會因此誤認為B樹就是二叉查找樹，但二叉查找樹就是二叉查找樹，B樹就是B樹，B樹的真正最准確的定義為：一棵含有t（t>=2）個關鍵字的平衡多路查找樹）。每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常采用大得多的t值。

    B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字信息和分支(當然是不能超過磁盤塊的大小，根據磁盤驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味着查找一個元素只要很少結點從外存磁盤中讀入內存，很快訪問到要查找的數據。

    B樹的類型和節點定義如下圖所示：

 

 

 

為了簡單，這里用少量數據構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的B樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17比表示一個磁盤文件的文件名；小紅方塊表示這個17文件內容在硬盤中的存儲位置；p1表示指向17左子樹的指針。

其結構可以簡單定義為：

typedef struct {

    /*文件數*/

    int  file_num;

    /*文件名(key)*/

    char * file_name[max_file_num];

    /*指向子節點的指針*/

     BTNode * BTptr[max_file_num+1];

     /*文件在硬盤中的存儲位置*/

     FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];

}BTNode;

假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個文件名）。那么一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指針就是存放另外一個盤塊的地址。

下面，咱們來模擬下查找文件29的過程：

1. 根據根結點指針找到文件目錄的根磁盤塊1，將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 1次】    
2. 此時內存中有兩個文件名17、35和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發現17<29<35，因此我們找到指針p2。
3. 根據p2指針，我們定位到磁盤塊3，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 2次】    
4. 此時內存中有兩個文件名26，30和三個存儲其他磁盤頁面地址的數據。根據算法我們發,26<29<30，因此我們找到指針p2。
5. 根據p2指針，我們定位到磁盤塊8，並將其中的信息導入內存。【磁盤IO操作 3次】    
6. 此時內存中有兩個文件名28，29。根據算法我們查找到文,29，並定位了該文件內存的磁盤地址。

分析上面的過程，發現需要3次磁盤IO操作和3次內存查找操作。關於內存中的文件名查找，由於是一個有序表結構，可以利用折半查找提高效率。至於IO操作時影響整個B樹查找效率的決定因素。

當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁盤存儲結構來進行查找，磁盤4次，最多5次，而且文件越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁盤IO操作次數將越少，效率也越高。

B樹的高度

    根據上面的例子我們可以看出，對於輔存做IO讀的次數取決於B樹的高度。而B樹的高度由什么決定的呢？

     根據B樹的高度公式:    

      其中T為度數（每個節點包含的元素個數），即所謂的階數，N為總元素個數或總關鍵字數。

     我們可以看出T對於樹的高度有決定性的影響。因此如果每個節點包含更多的元素個數，在元素個數相同的情況下，則更有可能減少B樹的高度。這也是為什么SQL Server中需要盡量以窄鍵建立聚集索引。因為SQL Server中每個節點的大小為8092字節，如果減少鍵的大小，則可以容納更多的元素，從而減少了B樹的高度，提升了查詢的性能。

    上面B樹高度的公式也可以進行推導得出，將每一層級的的元素個數加起來，比如度為T的節點，根為1個節點，第二層至少為2個節點，第三層至少為2t個節點，第四層至少為2t*t個節點。將所有最小節點相加，從而得到節點個數N的公式:

               

    兩邊取對數，則可以得到樹的高度公式。

    這也就是說每個節點必須至少有兩個子元素，因為根據高度公式，如果每個節點只有一個元素，也就是T=1的話，那么高度將會趨於正無窮。

4.B⁺-tree

B⁺-tree：是應文件系統所需而產生的一種B-tree的變形樹。

一棵m階的B+樹和m階的B樹的差異在於：

      1.有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字； (而B 樹是n棵子樹有n-1個關鍵字)

      2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈接。 (而B 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查找的信息)

      3.所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而B 樹的非終節點也包含需要查找的有效信息)

 

 

a)     為什么說B⁺-tree比B 樹更適合實際應用中操作系統的文件索引和數據庫索引？

1) B⁺-tree的磁盤讀寫代價更低

B⁺-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體信息的指針。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那么盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。

    舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B⁺ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B⁺ 樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。

2) B⁺-tree的查詢效率更加穩定

由於非終結點並不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。

b)    B⁺-tree的應用: VSAM(虛擬存儲存取法)文件(來源論文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )

 

 

5.B^*-tree

B*-tree是B⁺-tree的變體，在B⁺ 樹非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）。給出了一個簡單實例，如下圖所示：

 

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針。

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針。

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

 

6、B樹的插入、刪除操作

上面第3小節簡單介紹了利用B樹這種結構如何訪問外存磁盤中的數據的情況，下面咱們通過另外一個實例來對這棵B樹的插入（insert）,刪除（delete）基本操作進行詳細的介紹。

但在此之前，咱們還得簡單回顧下一棵m階的B 樹 (m叉樹)的特性，如下：

1. 樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。
2. 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
3. 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
4. 所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都為null)；
5. 每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
          a)   Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。 
          b)   Pi為指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。 
          c)   除根結點之外的結點的關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結點也必須滿足此條關於關鍵字數的性質，根結點除外）。

ok，下面咱們以一棵5階（即樹中任一結點至多含有4個關鍵字，5棵子樹）B樹實例進行講解(如下圖所示)：

備注：

1. 關鍵字數（2-4個）針對--非根結點（包括葉子結點在內），孩子數（3-5個）--針對根結點和葉子結點之外的內結點。當然，根結點是必須至少有2個孩子的，不然就成直線型搜索樹了。
2. 曾在一次面試中被問到，一棵含有N個總關鍵字數的m階的B樹的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）N （上面中關於m階B樹的第1點特性已經提到：樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。而樹中每個結點含孩子數越少，樹的高度則越大，故如此）。在2012微軟4月份的筆試中也問到了此問題。更多原理請看上文第3小節末：B樹的高度。

下圖中關鍵字為大寫字母，順序為字母升序。

結點定義如下：

typedef struct{

   int Count;         // 當前節點中關鍵元素數目

   ItemType Key[4];   // 存儲關鍵字元素的數組

   long Branch[5];    // 偽指針數組，(記錄數目)方便判斷合並和分裂的情況

} NodeType;

 

6.1、插入（insert）操作

插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，即在葉子結點處結束，然后在葉子結點中插入該新的元素，注意：如果葉子結點空間足夠，這里需要向右移動該葉子結點中大於新插入關鍵字的元素，如果空間滿了以致沒有足夠的空間去添加新的元素，則將該結點進行“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中（當然，如果父結點空間滿了，也同樣需要“分裂”操作），而且當結點中關鍵元素向右移動了，相關的指針也需要向右移。如果在根結點插入新元素，空間滿了，則進行分裂操作，這樣原來的根結點中的中間關鍵字元素向上移動到新的根結點中，因此導致樹的高度增加一層。如下圖所示：

1、OK，下面咱們通過一個實例來逐步講解下。插入以下字符字母到一棵空的B 樹中（非根結點關鍵字數小了（小於2個）就合並，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結點空間足夠，4個字母插入相同的結點中，如下圖：

 

2、當咱們試着插入H時，結點發現空間不夠，以致將其分裂成2個結點，移動中間元素G上移到新的根結點中，在實現過程中，咱們把A和C留在當前結點中，而H和N放置新的其右鄰居結點中。如下圖：

 

3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關鍵字元素，以致向上移到父節點中

 

5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

 

6、插入Z時，最右的葉子結點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結果的結點存在2個關鍵字元素。

 

7、插入D時，導致最左邊的葉子結點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節點中，然后字母P,R,X,Y陸續插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。

 

8、最后，當插入S時，含有N,P,Q,R的結點需要分裂，把中間元素Q上移到父節點中，但是情況來了，父節點中空間已經滿了，所以也要進行分裂，將父節點中的中間元素M上移到新形成的根結點中，注意以前在父節點中的第三個指針在修改后包括D和G節點中。這樣具體插入操作的完成，下面介紹刪除操作，刪除操作相對於插入操作要考慮的情況多點。

 

 

6.2、刪除(delete)操作
（1）刪除操作的兩個步驟
   　 第一步驟：在樹中查找被刪關鍵字K所在的地點
    　第二步驟：進行刪去K的操作

（2）刪去K的操作
    　B-樹是二叉排序樹的推廣，中序遍歷B-樹同樣可得到關鍵字的有序序列（具體遍歷算法【參見練習】）。任一關鍵字K的中序前趨(后繼)必是K的左子樹(右子樹)中最右(左)下的結點中最后(最前)一個關鍵字。
    　若被刪關鍵字K所在的結點非樹葉，則用K的中序前趨(或后繼)K'取代K，然后從葉子中刪去K'。從葉子*x開始刪去某關鍵字K的三種情形為：
    　情形一：若x->keynum>Min，則只需刪去K及其右指針(*x是葉子，K的右指針為空)即可使刪除操作結束。
  注意：
    　 
    　情形二：若x->keynum=Min，該葉子中的關鍵字個數已是最小值，刪K及其右指針后會破壞B-樹的性質(3)。若*x的左(或右)鄰兄弟結點*y中的關鍵字數目大於Min，則將*y中的最大(或最小)關鍵字上移至雙親結點*parent中，而將*parent中相應的關鍵字下移至x中。顯然這種移動使得雙親中關鍵字數目不變；*y被移出一個關鍵字，故其keynum減1，因它原大於Min，故減少1個關鍵字后keynum仍大於等於Min；而*x中已移入一個關鍵字，故刪K后*x中仍有Min個關鍵字。涉及移動關鍵字的三個結點均滿足B-樹的性質(3)。 請讀者驗證，上述操作后仍滿足B-樹的性質(1)。移動完成后，刪除過程亦結束。
    　情形三：若*x及其相鄰的左右兄弟(也可能只有一個兄弟)中的關鍵字數目均為最小值Min，則上述的移動操作就不奏效，此時須*x和左或右兄弟合並。不妨設*x有右鄰兄弟*y(對左鄰兄弟的討論與此類似)，在*x中刪去K后，將雙親結點*parent中介於*x和*y之間的關鍵字K，作為中間關鍵字，與並x和*y中的關鍵字一起"合並"為一個新的結點取代*x和*y。因為*x和*y原各有Min個關鍵字，從雙親中移人的K'抵消了從*x中刪除的K，故新結點中恰有2Min(即2「m/2」-2≤m-1)個關鍵字，沒有破壞B-樹的性質(3)。但由於K'從雙親中移到新結點后，相當於從*parent中刪去了K'，若parent->keynum原大於Min，則刪除操作到此結束；否則，同樣要通過移動*parent的左右兄弟中的關鍵字或將*parent與其 左右兄弟合並的方法來維護B-樹性質。最壞情況下，合並操作會向上傳播至根，當根中只有一個關鍵字時，合並操作將會使根結點及其兩個孩子合並成一個新的根，從而使整棵樹的高度減少一層。

    　
     
  分析：
 　   第1個被刪的關鍵字h是在葉子中，且該葉子的keynum>Min(5階B-樹的Min=2)，故直接刪去即可。第2個刪去的r不在葉子中，故用中序后繼s取代r，即把s復制到r的位置上，然后從葉子中刪去s。第3個刪去的p所在的葉子中的關鍵字數目是最小值Min，但其右兄弟的keynum>Min，故可以通過左移，將雙親中的s移到p所在的結點，而將右兄弟中最小(即最左邊)的關鍵字t上移至雙親取代s。當刪去d時，d所在的結點及其左右兄弟均無多余的關鍵字，故需將刪去d后的結點與這兩個兄弟中的一個(圖中是選擇左兄弟(ab))及其雙親中分隔這兩個被合並結點的關鍵字c合並在一起形成一個新結點(abce)。但因為雙親中失去c后keynum<Min，故必須對該結點做調整操作，此時它只有一個右兄弟，且右兄弟無多余的關鍵字，不可能通過移動關鍵字來解決。因此引起再次合並，因根只有一個關鍵字，故合並后樹高度減少一層，從而得到上圖的最后一個圖。

B-樹的高度及性能分析 

    　B-樹上操作的時間通常由存取磁盤的時間和CPU計算時間這兩部分構成。B-樹上大部分基本操作所需訪問盤的次數均取決於樹高h。關鍵字總數相同的情況下B-樹的高度越小，磁盤I/O所花的時間越少。
    　與高速的CPU計算相比，磁盤I/O要慢得多，所以有時忽略CPU的計算時間，只分析算法所需的磁盤訪問次數（磁盤訪問次數乘以一次讀寫盤的平均時間(每次讀寫的時間略有差別)就是磁盤I/O的總時間）。

1、B-樹的高度
    　定理9.1 若n≥1，m≥3，則對任意一棵具有n個關鍵字的m階B-樹，其樹高h至多為：
        log_t((n+1)/2)+1。
這里t是每個(除根外)內部結點的最小度數，即
         
    　由上述定理可知：B-樹的高度為O(logtn)。於是在B-樹上查找、插入和刪除的讀寫盤的次數為O(log_tn)，CPU計算時間為O(mlog_tn)。

2、性能分析
　　①n個結點的平衡的二叉排序的高度H（即lgn）比B-樹的高度h約大lgt倍。
    　【例】若m=1024，則lgt=lg512=9。此時若B-樹高度為4，則平衡的二叉排序樹的高度約為36。顯然，若m越大，則B-樹高度越小。
　　②若要作為內存中的查找表，B-樹卻不一定比平衡的二叉排序樹好，尤其當m較大時更是如此。
    　因為查找等操作的CPU計算時間在B-樹上是
        O(mlog_tn)=0(lgn·(m/lgt))
而m/lgt>1，所以m較大時O(mlogtn)比平衡的二叉排序樹上相應操作的時間O(lgn)大得多。因此，僅在內存中使用的B-樹必須取較小的m。（通常取最小值m=3，此時B-樹中每個內部結點可以有2或3個孩子，這種3階的B-樹稱為2-3樹）。

B+樹 

       B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹： 

       1.其定義基本與B-樹同，除了： 

       2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同； 

       3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）； 

       5.為所有葉子結點增加一個鏈指針； 

       6.所有關鍵字都在葉子結點出現； 

       如：（M=3） 

 
B+的搜索與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找； 
       B+的特性： 

       1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好是有序的； 

       2.不可能在非葉子結點命中； 

       3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是存儲（關鍵字）數據的數據層； 

       4.更適合文件索引系統； 


B*樹 

       是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針； 

 
B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）； 
       B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針； 

       B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針； 

       所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；